Całka, uzasadnij

[Yenneferzyca]

Funkcja f określona na przedziale [1,2] dana jest wzorem
\(\displaystyle{ f(x) = e^{ x^{2} }}\),
zaś g - określona na [e,\(\displaystyle{ e^{4}}\)] - jest funkcją odwrotną do f.
Uzasadnij, że:
\(\displaystyle{ \int_{1}^{2}f(x)dx + \int_{e}^{ e^{4} } g(y)dy = 2 e^{4} - e}\)

[Kamil_B]

Wskazówka do \(\displaystyle{ \int_{}^{} g(y)dy}\) :

Ukryta treść:    

Podstaw \(\displaystyle{ x=f^{-1}(y)=g(y)}\) stąd \(\displaystyle{ y=f(x), dy=f'(x)dx}\) a dalej całkuj przez częsci

[Yenneferzyca]

czyli że
\(\displaystyle{ \int_{1}^{2}f(x)dx + \int_{e}^{ e^{4} } g(y)dy = \int_{1}^{2}f(x)dx + \int_{1}^{ 2 } x f'(x) dx = \int_{1}^{2} e^{x^{2}} + \int_{1}^{2} 2x^{2}e^{x^{2}}}\)

czy coś mi się pomieszało?

tylko że dalej mam mały problem z rozwiązaniem tej całki...

[Kamil_B]

Chyba coś Ci sie pomieszało. Powinno się conieco poskracać

Ps. Źle całkujesz przez częsci całkę \(\displaystyle{ \int_{}^{} xf'(x)dx}\) .

[Yenneferzyca]

no to ja już nie wiem jak

[Kamil_B]

\(\displaystyle{ \int_{}^{} xf'(x)dx=xf(x)- \int_{}^{} f(x)dx}\)

[Yenneferzyca]

i zostanie tylko xf(x) hehehe ale bania dzięki!