Transformata Laplace'a

[Michal99]

Witam. Mam problem z rozwiązaniem paru zadań dotyczących transformaty Laplace'a i zastosowania metody operatorowej.

1. \(\displaystyle{ f(t)=\sin(2(t-4)) \cdot 1(t-4)}\) Muszę wyznaczyć \(\displaystyle{ \LLL[f(t)]=?}\)
2. \(\displaystyle{ F(s)= \frac{8s}{(s+2)^2(s+3)}}\) Wyznaczyć \(\displaystyle{ \LLL^{-1}[F(s)]=?}\)
3. \(\displaystyle{ x'' +4x=1(t)-1(t-5), x(0)=0, x'(0)=3}\)

Proszę o wskazówki. W drugim zadaniu myślałem o rozkładzie na ułamki proste, natomiast trzecie rozłożyć ze wzoru i wyliczyć x. Nie wiem tylko jak zabrać się za pierwsze. Oglądałem lekcję o transformacie z kursu eTrapeza, lecz przez inne oznaczenia nie wiem jak rozpocząć rozwiązywanie.

-- 12 maja 2014, o 11:34 --

Zadanie drugie rozwiązałem rozkładając to ułamki proste.
EDIT1: Poprawiłem błąd.

\(\displaystyle{ F(s)=\frac{8s}{(s+2)^2(s+3)}= \frac{24}{s+2}+ \frac{-16}{(s+2)^2}+ \frac{-24}{s+3}}\)

\(\displaystyle{ \LLL^-1[F(s)]=24e^{-2t}-16te^{-2t}-24e^{-3t}=-8e^{-3t}(-3e^t+2e^t+3)}\)

Mogę prosić o sprawdzenie i ewentualnie wskazówki co do poprawy?
W zadaniu trzecim nie wiem co zrobić z prawą stroną. Rozłożyłem to na:

\(\displaystyle{ \LLL[1(t)]- \LLL[1(t-5)]}\)

Z pierwszego wynika, że jest to \(\displaystyle{ \frac{1}{s}}\) a z drugiego? Nie wiem co zrobić z tą "jedynką" przed nawiasem.

[schloss]

2. W drugim składniku zamiast "x" jest "t"

3. Obustronną transformatę Laplace'a liczymy

\(\displaystyle{ s ^{2}X(s)-sx(0)-x'(0)+4sX(s)-4x(0)= \frac{1}{s}- \frac{e ^{-5s} }{s}}\)

Wyznaczamy X(s) i dalej transformatę odwrotną.


Jedynka to funkcja skokowa Heaviside'a. Więc ten nawias to jest jej argument, a nie czynnik mnożący

[Michal99]

Dzięki. Już poprawiłem. A możesz mi wyjaśnić, dlaczego

\(\displaystyle{ \LLL [1(t-5)]= \frac{e^{-5t}}{s}}\)

A nie \(\displaystyle{ e^{-5t}}\) ?
EDIT1: Już rozumiem. \(\displaystyle{ 1(t-t _{0})= \frac{1}{s}e^{-st _{0}}}\)
I przypadkiem obustronna transformacja nie powinna wyglądać tak:

\(\displaystyle{ s^2X(s)-sx(0)-x'(0)+4X(s)=...}\)

W drugim zadaniu wyszło mi

\(\displaystyle{ \LLL [x]= \frac{1-e^{-5s}+3s}{s(s^2+4)}}\)

Nie wiem czy dobrze. Teraz transformacje odwrotną trzeba policzyć przez zastosowanie twierdzenia Cauchy'ego o residuach? Przez ułamki proste raczej nie rozwiążę tego. Mógłby ktoś wyjaśnić jak stosuje się te twierdzenie?

[schloss]

Co do pochodnej to racja, już poprawiłem.

[Kartezjusz]

W pierwszym podokładaj nawiasów, bo średnio kumam o co Ci chodzi

[Michal99]

Chodzi o:

\(\displaystyle{ f(t)=\sin(2(t-4)) \cdot 1(t-4)}\) Muszę wyznaczyć \(\displaystyle{ \LLL[f(t)]=?}\)

Już poprawiłem w pierwszym poście.

[Kartezjusz]

Rozczłonkuj na dwie półproste przedział transformowania.

[Michal99]

Możesz mi podpowiedzieć jak to zrobić? Jeszcze proszę o pomoc do zadania trzeciego. Jakim sposobem wyznaczyć oryginał, jeżeli obraz wyszedł mi
\(\displaystyle{ \LLL [x]= \frac{1-e^{-5s}+3s}{s(s^2+4)}}\)

[Kartezjusz]

Rozwal na trzy ułamki.
Pierwszy i trzeci to będzie rozkład na ułamki proste, a drugi też, tylko wyłączyć \(\displaystyle{ e^{-5s}}\) przed nawias.

[Michal99]

Dalej nie rozumiem jak rozwiązać pierwsze zadanie.

EDIT:

Będzie to może wyglądało tak?

\(\displaystyle{ \LLL[\sin(2(t-4)) \cdot 1(t-4)]=e ^{-4t} \cdot \frac{2}{s^{2}+4}}\)