Zbadaj monotoniczność funkcji w danym przedziale.

[chlopina]

2 przykłady, z którymi nie mogłem sobie poradzić.

a) \(\displaystyle{ \sqrt{8+2x}}\) w przedziale \(\displaystyle{ \left( - \infty , \ -4 \right\rangle}\)

b) \(\displaystyle{ x^{2} - 6x - 1}\) w przedziale \(\displaystyle{ \left( 0 , \ \infty \right)}\)

[tajner]

Bierzesz dwa pkt. \(\displaystyle{ x_1 < x_2}\) i liczysz \(\displaystyle{ f(x_2)-f(x_1)}\) czy jest to mniejsze, czy większe zero, ewentualnie liczysz pochodną (można tak zrobić dla funkcji różniczkowalnych) i sprawdzasz znak. Jeśli różnica (pochodna) \(\displaystyle{ \ge 0}\) to funkcja jest rosnąca, jeśli \(\displaystyle{ \le 0}\) malejąca.

[Ania221]

Trzeba zbadać znak różnicy \(\displaystyle{ f(x_2)-f(x_1)}\), przy założeniu, że \(\displaystyle{ x_2-x_1>0}\)

\(\displaystyle{ f(x_2)-f(x_1)=\sqrt{8+2x_2}-\sqrt{8+2x_1}= \frac{(\sqrt{8+2x_2}-\sqrt{8+2x_1})(\sqrt{8+2x_2}+\sqrt{8+2x_1})}{\sqrt{8+2x_2}+\sqrt{8+2x_1}}= \frac{8+2x_2-8-2x_1}{\sqrt{8+2x_2}+\sqrt{8+2x_1}}= \frac{2(x_2-x_1)}{\sqrt{8+2x_2}+\sqrt{8+2x_1}}}\)
Poprawiam, bo się pomyliłam przy interpretacji:
Mianownik jest dodatni bo pierwiastki arytmetyczne są nieujemne, licznik jest dodatni, funkcja jest rosnąca

[Mathix]

W drugim masz funkcję kwadratową, więc najlepiej znaleźć współrzędną \(\displaystyle{ x}\) wierzchołka paraboli ze wzoru \(\displaystyle{ x_w=\frac{-b}{2a}}\). Na lewo od wierzchołka funkcja jest malejąca, na prawo od wierzchołka rosnąca.

[Ania221]

Drugie trzeba zrobić tak jak pierwsze, z definicji

[chlopina]

Jeszcze coś dodam, jestem w 1 lic i to są moje pierwsze zadania tego rodzaju.
Według odpowiedzi do zadań 1 funkcja jest rosnąca (do przykładu b nie mam odpowiedzi).

W zasadzie to jeśli chodzi o przykład a), to nie rozumiem tego przedziału. Przecież pod pierwiastkiem nie może być liczby ujemnej, więc tylko \(\displaystyle{ -4}\) pasuje. To dlaczego tam jest podany taki przedział?

[Jan Kraszewski]

W zasadzie to jeśli chodzi o przykład a), to nie rozumiem tego przedziału. Przecież pod pierwiastkiem nie może być liczby ujemnej, więc tylko \(\displaystyle{ -4}\) pasuje. To dlaczego tam jest podany taki przedział?

Może przykład jest źle przepisany?

JK

[chlopina]

W zasadzie to jeśli chodzi o przykład a), to nie rozumiem tego przedziału. Przecież pod pierwiastkiem nie może być liczby ujemnej, więc tylko \(\displaystyle{ -4}\) pasuje. To dlaczego tam jest podany taki przedział?

Może przykład jest źle przepisany?

JK

Jest dobrze przepisany.

[Jan Kraszewski]

Podejrzewam błąd w treści. Ale jak się uprzeć, to tak też można - zacznij od dziedziny.

JK

[chlopina]

Ok, a co z drugim przykładem, zrobiłby ktoś?

[musialmi]

Weź sobie jakąś wartość funkcji z podanego przedziału i podstaw za iksa, stosując się do ALGORYTMÓW (to nawet nie są wskazówki), które zostały wcześniej podane

[schleswig]

Przecież już miałeś rozwiązanie. A przynajmniej jego opis.

\(\displaystyle{ x^{2} - 6x - 1}\)

Liczymy wierzchołek paraboli:

\(\displaystyle{ -\frac{b}{2a} = -\frac{-6}{2} = 3}\)

Stąd wiesz, że wykres funkcji jest symetryczny względem prostej danej równaniem \(\displaystyle{ x = 3}\). Możesz to prosto wykazać, zwijając postać ogólną do postaci kanonicznej funkcji kwadratowej.

Ponieważ \(\displaystyle{ a > 0}\), to ramiona paraboli skierowane są w górę, więc funkcja w \(\displaystyle{ x = 3}\) osiąga minimum. Maximum nie istnieje. Z wykresu możesz prosto odczytać, że funkcja jest malejąca dla \(\displaystyle{ x \in (0; 3)}\) i rosnąca dla \(\displaystyle{ x \in (3; \infty)}\)

Inna metoda, to policzyć pochodną, przyrównać do zera, policzyć drugą pochodną w punkcie, w którym zeruje się pierwsza. Zobaczyć, że dla \(\displaystyle{ x}\) mniejszych od tego wyznaczonego, w którym pochodna się zeruje, pochodna jest ujemna, a dla \(\displaystyle{ x}\) większych jest dodatnia, więc tam mamy minimum.

[chlopina]

Dzięki schleswig, ja tego sposobu nie znam, robiłem to w inny sposób. Po prostu zwykle miałem tak, że funkcja jest albo malejąca albo rosnąca w danym przedziale, a tutaj trzeba ten przedział rozbić na dwie części. To już w zasadzie nie jest konieczne, ale mógłbyś mi wyjaśnić dlaczego przedział jest
\(\displaystyle{ x \in (0; 3)}\) zamiast \(\displaystyle{ x \in (0; 3\rangle}\) i tak samo \(\displaystyle{ x \in (3; \infty)}\) zamiast \(\displaystyle{ x \in \langle 3; \infty)}\) ?

[schleswig]

Tu masz odpowiedź: 258835.htm

[chlopina]

Dziękuję za pomoc, już wszystko jest jasne