[Nierówności] Prosta nierówność III

[mol_ksiazkowy]

Udowodnić że gdy \(\displaystyle{ x, y, z \geq 0}\) to :
\(\displaystyle{ x(x - \sqrt{yz})+ y(y - \sqrt{xz})+ z(z - \sqrt{xy}) \geq 0}\)
I to różnymi sposobami (im > tym

[henryk pawlowski]

Zastosuj dwukrotnie nierówność między średnią arytmetyczną i geometryczną dwóch liczb,dowód nierówności zajmie jeden wiersz!

[timon92]

gdy któraś zmienna jest zerem to nierówność jest oczywista, w przeciwnym przypadku załóżmy, że \(\displaystyle{ xyz=1}\) (można, bo nierówność jest jednorodna)

lemat: \(\displaystyle{ t>0 \implies t^2-\sqrt t-\frac 32 \ln t \ge 0}\)

dowód lematu: rachunek różniczkowy

po zsumowaniu lematu dla \(\displaystyle{ t \in \{x,y,z\}}\) dostajemy tezę