Suma szeregu

[cersei399]

Mam do policzenia taką sumę:

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{n+1}}{2n+1} \cdot v^{n}}\)

gdzie \(\displaystyle{ v=0,49.}\)

Próbuję sposobem "zróżniczkuj-a-potem-scałkuj", ale mam już dwie strony zapisane i nadal błędny wynik. Czy może ktoś ma pomysł na prostsze rozwiązanie?

[a4karo]

Wyciągnij 2 przed sumę i podstaw \(\displaystyle{ x=\sqrt{2x}}\)

[cersei399]

No dobra, to wyjściowa suma:

\(\displaystyle{ \frac{2}{x} \cdot \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{2n+1}}{2n+1}}\)

Różniczkuję:

\(\displaystyle{ \left( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{2n+1}}{2n+1} \right) ^{\prime}=
\frac{1}{1-x^2} - 1}\)

Całkuję:

\(\displaystyle{ \int \frac{1}{1-x^2} - 1 \, \dd x = \frac{1}{2} \ln (1-x^2)-x+C}\)

Wyznaczam C:
\(\displaystyle{ \frac{1}{2} \ln (1-x^2)-x+C =\frac{1}{1-x^2} - 1}\)

\(\displaystyle{ C=51,95}\)

Czyli wyjściowa suma wynosi:

\(\displaystyle{ S \approx 99}\)

Prawidłowa odpowiedź wynosi \(\displaystyle{ \approx 3,3}\).

[a4karo]

calke zle policzyłas. I skąd taka dziwna stała?

[cersei399]

Faktycznie, podejście drugie do całki.

\(\displaystyle{ \int \frac{1}{1-x^2} - 1 \, \dd x = -\frac{1}{2} \ln (1-x) +\frac{1}{2} \ln (1+x)-x+C}\)

Jak mogę teraz wyliczyć stałą C?

[Kartezjusz]

Tylko zapisz wprost jak ją liczysz.

[a4karo]

najprosciej \(\displaystyle{ x=0}\)

[Kartezjusz]

Tylko zauważ,że ot tak podstawić nie możesz, do czego jej przyrównać. Zauważ,że dla \(\displaystyle{ x=0}\)nasze wyrażenie wyjściowe traci sens

[cersei399]

Czy stałą C liczym w ten sposób, że całka w danym punkcie wynosi pochodnej w tym punkcie?

Jeżeli zatem jak podstawię faktyczną wartość x, czyli:
\(\displaystyle{ x=\sqrt{2v}=\sqrt{2\cdot0,49}}\)

To otrzymuję:

\(\displaystyle{ -\frac{1}{2} \ln (1-x) +\frac{1}{2} \ln (1+x)-x+C = \frac {1}{1-x^2}-1}\)

Wtedy:

\(\displaystyle{ C \approx 47}\)

[a4karo]

Tylko zauważ,że ot tak podstawić nie możesz, do czego jej przyrównać. Zauważ,że dla \(\displaystyle{ x=0}\)nasze wyrażenie wyjściowe traci sens

Wyrażenie wyjściowe rzeczywiście traci sens. Ale mamy policzyć tylko sumę szeregu (bez czynnika \(\displaystyle{ \frac{2}{x}}\) z przodu, i tu jak najbardziej możemy zero wstawić.

[cersei399]

Ok, czyli:

\(\displaystyle{ \sum \frac {x^{2n+1}}{2n+1} = \frac{1}{2} \ln \left( \frac{1+x}{1-x} \right) -x+C}\)

Teraz jak podstawimy \(\displaystyle{ x=0}\), to \(\displaystyle{ C=0}\).

Czyli szereg wynosi ostatecznie:
\(\displaystyle{ \frac{2}{x}\cdot \left( \frac{1}{2}\ln \left( \frac{1+x}{1-x} \right) -x \right)}\)

dzięki za pomoc.