Ciekawy "wzór" o wielu znaczeniach

[Lafoniz]

Witam wszystkich zgromadzonych na forum.
Niemalże rok temu na lekcjach podstaw przedsiębiorczości wykonywaliśmy wiele żmudnych obliczeń, aby policzyć kwotę potrzebną do zapłacenia za kredyt. Wszyscy oczywiście jak to w szkole bywa mechanicznie wykonywali kolejne serie obliczeń, natomiast ja stwierdziłem, że znajdę wygodny wzór, który pozwoli mi na rozwiązanie tego "problemu" dla n przypadku.

Trochę zabawy w szkole z tym było, największą "trudność" miałem z wyznaczeniem zależności sumy kolejnych liczb naturalnych, udało się uzyskać następujący wynik: \(\displaystyle{ \frac{n(n-1)}{2}}\)

Wzór był bardzo przydatny, jednak nie sądziłem, że uda mi się go spotkać w całkiem innych dziedzinach matematyki aż dwa razy!

Nie udowodniłem formalnie 2 ani 3 "przypadku", dowód tego o czym pisałem wyżej można w prosty sposób przedstawić indukcyjnie, każdy z pewnością sobie poradzi. Przejdźmy jednak do rzeczy:

2. Jeżeli będziemy na płaszczyźnie rysować różne proste to zauważymy, że maksymalna ilość punktów wspólnych dla nich jest opisana wyżej podanym wzorem (Nie mam na to dowodu, jeżeli ktoś ma kontrprzykład, albo dowód to z miłą chęcią przyjmę).

3. Jeżeli weźmiemy n-elementowy zbiór i zaczniemy wyznaczać liczbę kolejnych dwuelementowych podzbiorów tego zbioru to prawdziwy wydaje się podany u góry wzór. (Dowód lub kontrprzykład przyjmę.)


Czy to problem ze wzrokiem? Czy faktycznie te zależności mają jakieś ciekawe znaczenie?

Pozdrawiam, Lafoniz

[Zahion]

Trochę zabawy w szkole z tym było, największą "trudność" miałem z wyznaczeniem zależności sumy kolejnych liczb naturalnych, udało się uzyskać następujący wynik: \(\displaystyle{ \frac{n(n-1)}{2}}\)

O jaką zależność sumy Ci chodzi ?
Add. 2

2. Jeżeli będziemy na płaszczyźnie rysować różne proste to zauważymy, że maksymalna ilość punktów wspólnych dla nich jest opisana wyżej podanym wzorem (Nie mam na to dowodu, jeżeli ktoś ma kontrprzykład, albo dowód to z miłą chęcią przyjmę).

Punktów wspólnych wszystkich prostych ?

Nie znam się koniecznie dobrze na zbiorach, natomiast z tego co mi wiadomo to liczba różnych dwuelementowych podzbiorów zbioru \(\displaystyle{ n}\) elementowego wynosi\(\displaystyle{ {n \choose 2}}\)

Odnośnie jeszcze drugiego. Jeśli chodzi Ci o ilość punktów wspólnych prostych to zauważ, że jeśli mamy dwie proste to mamy maksymalnie jeden punkt wspólny, pózniej, żeby otrzymać jak najwięcej punktów wspólnych to prowadzimy prostą przechodzącą przed te dwie proste ( mamy trzy punkty wspólne dla trzech prostych ) pózniej prowadzimy kolejną prostą przechodzącą przez te trzy proste ( mamy sześć punktów wspólnych dla czterech prostych ) i tak dalej... Określa to zależność rekurencyjna postaci :
\(\displaystyle{ a _{n}= a_{n-1} + (n-1), a _{0} =0}\) udowodnij teraz indukcyjnie, że z tej rekurencji wynika iż \(\displaystyle{ a _{n} = \frac{n(n-1)}{2}}\).

[Lafoniz]

O jaką zależność sumy Ci chodzi ?

Miałem na myśli takowy fakt:
\(\displaystyle{ 1+2+3+...+n = \frac{n(n-1)}{2}}\)

Punktów wspólnych wszystkich prostych ?

Dokładnie tak - zakładając, że się nie nakładają.

Wracając do tego podpunktu ze zbiorami, pomyliłem się i nie zawarłem pewnej informacji. Podzbiór \(\displaystyle{ \left\{ a,b\right\}}\) i \(\displaystyle{ \left\{ b,a \right\}}\) traktujemy jako takie same. Tę hipotezę o liczbie podzbiorów danego zbioru "odkryłem" rozwiązując zadanie z dzisiejszej matury tzn. na ile sposobów z 10 osobowej grupy można wybrać dwie osoby.

PS. Faktycznie ten dowód był bardzo elementarny, dzięki za jego pokazanie.

[Zahion]

Natomiast zauważ, że \(\displaystyle{ 1 + 2 +... + n = \frac{n(n+1)}{2} \neq \frac{n(n-1)}{2}}\)

[Lafoniz]

Z mojej pomyłki (napisałem zależność na sumę z pamięci, tam faktycznie jest plus) założyłem cały temat. Co nie zmienia faktu, że może istnieć jeszcze jakiś ciekawy związek między 2 a 3 podpunktem.

[Kartezjusz]

Oczywiście: Z problemu trzeciego mamy,że ilość dwuelementowych podzbiorów zbioru \(\displaystyle{ n+1}\)-elementowego wynosi \(\displaystyle{ \frac{n(n+1)}{2}}\)

Rozważmy sytuację,że każde dwie proste się przecinają ( wychodzą z jednego punktu w postaci pęku)
Teraz każde dwie proste łączymy w podzbiór

To popularna zależność
4.Ilość powitań w \(\displaystyle{ n+1}\) -osobowej grupie
5.ilość prostych o końcach w \(\displaystyle{ n+1}\) ustalonych punktach

[Mefistocattus]

Oczywiście: Z problemu trzeciego mamy,że ilość dwuelementowych podzbiorów zbioru \(\displaystyle{ n+1}\)-elementowego wynosi \(\displaystyle{ \frac{n(n+1)}{2}}\)

Rozważmy sytuację,że każde dwie proste się przecinają ( wychodzą z jednego punktu w postaci pęku)
Teraz każde dwie proste łączymy w podzbiór

To popularna zależność
4.Ilość powitań w \(\displaystyle{ n+1}\) -osobowej grupie
5.ilość prostych o końcach w \(\displaystyle{ n+1}\) ustalonych punktach

6. Druga liczba w \(\displaystyle{ n+1}\)-szym rzędzie trójkąta Pascala.
7. Współczynnik przy drugiej potędze dla wielomianu \(\displaystyle{ (x+1)^{n+1}}\).

Zieeew…