Kwantyfikatory - zależność należy, istnieje

[yta]

Witam, niestety nie za bardzo rozumiem od czego zależy to, że raz piszemy \(\displaystyle{ \forall_{n}}\) a raz \(\displaystyle{ \exists_{n}}\). Dajmy na to taki przykład.

Każde dwa miasta w Polsce są połączone drogą.
\(\displaystyle{ M}\) - zbior miast
\(\displaystyle{ a,b \in M.}\)
\(\displaystyle{ D(a,b)}\) oznacza, że \(\displaystyle{ a}\) oraz \(\displaystyle{ b}\) są połączone drogą

\(\displaystyle{ \forall_{a \in M} \forall_{b\in M} D(a,b)\ "1"}\)
No i problem jest poprawne napisanie zaprzeczenia - nie zawsze udaje mi się trafnie użyć odpowiedniego prawa logicznego - jest na to jakaś klarowna łatwa w zapamiętaniu i zawsze prawdziwa metoda ? Np. że jeżeli mamy istnieje istnieje to zaprzeczenie zawsze będzie szczegółowy szczegółowy ?

[Cosinus01]

Kwantyfikator \(\displaystyle{ \forall_{x}}\) to kwantyfikator ogólny "dla każdego x...", a kwantyfikator \(\displaystyle{ \exists_{x}}\) to kwantyfikator szczegółowy (egzystencjalny) "istnieje takie x, że...".

Istnieją tzw. prawa de Morgana dla kwantyfikatorów.
I prawo de Morgana \(\displaystyle{ \neg \forall_{x} p(x) \Leftrightarrow \exists_{x} \neg p(x)}\)
II prawo de Morgana \(\displaystyle{ \neg \exists_{x} p(x) \Leftrightarrow \forall_{x} \neg p(x)}\)

Oczywiście kwantyfikatory postawione przed formą zdaniową \(\displaystyle{ p(x)}\) ze zmienną x zamieniają ją w zdanie.

[yta]

No właśnie ale wychodzi na to, że nie do końca poprawnie stosuję te prawa de Morgana gdyż moje zaprzeczenia nie były dobre.

Zaprzeczenie tego:

\(\displaystyle{ \forall_{a \in M} \forall_{b\in M} D(a,b) "1"}\)

Wyglądałoby tak:
\(\displaystyle{ \exists_{a \in M} \exists_{b \in M} D(a,b) "0"}\)

O to tu chodzi ?
Aha czyli: \(\displaystyle{ \forall_{}}\) to np:
- Jest taka liczba, która jest o 2x mniejsza od jej poprzednika
- Każda liczba jest podzielna przez 1
itd ?

A \(\displaystyle{ \exists_{}}\) to np:
- Istnieje liczba ...
- Istnieją ...
- Są dwa miasta
- Występują dwa miasta ...

itd ? O to tu chodzi ?

[Jan Kraszewski]

Wyglądałoby tak:
\(\displaystyle{ \exists_{a \in M} \exists_{b \in M} D(a,b) "0"}\)

Nie. Przeczytaj jeszcze raz uważnie odpowiednie prawo de Morgana.

JK

[Cosinus01]

Aha czyli: \(\displaystyle{ \forall_{}}\) to np:
- Jest taka liczba, która jest o 2x mniejsza od jej poprzednika

Nie za bardzo, bo tutaj trzeba użyć szczegółowego (inaczej: "Istnieje taka liczba, że...").

[yta]

A już wiem, przed D trzeba znać zaprzeczenie czyli \(\displaystyle{ \exists_{a \in M} \exists_{b \in M} \neg D(a,b) "0"}\)

A co do zasady kiedy stosujemy szczegółowy a kiedy nie, to nie do końca wciąż rozumiem. To zależy od jakiś konkretnych słów, sensu zdania ? Czy po czym mam wiedzieć, co mam napisać ?

[Jan Kraszewski]

A już wiem, przed D trzeba znać zaprzeczenie czyli \(\displaystyle{ \exists_{a \in M} \exists_{b \in M} \neg D(a,b) "0"}\)

Dobrze.

A co do zasady kiedy stosujemy szczegółowy a kiedy nie, to nie do końca wciąż rozumiem. To zależy od jakiś konkretnych słów, sensu zdania ? Czy po czym mam wiedzieć, co mam napisać ?

Zdecydowanie od sensu zdania.

JK

[yta]

No ale z sensu zdania. Dajmy na to takie zdanie: Istnieje liczba rzeczywista, od ktorej nie jest mniejszy sześcian dowolnej liczby.

I jak to rozważyć ? ... tu będzie na pewno szczegółowy bo jest "istnieje" a co z sześcianem dowolnej liczby ? I w tym konkretnym podpunkcie miałem problem zapisać predykat. Po prostu dla mnie to zdanie jest mało zrozumiałe. Co znaczy, że coś nie jest mniejsze od jakieś wartości ?

[Jan Kraszewski]

Tak, na początku będzie szczegółowy. A potem patrzysz się na resztę i tam będzie ogólny (bo masz "dowolną liczbę").

"Nie jest mniejsze" oznacza, że "jest większe lub równe".

JK

[Mefistocattus]

A już wiem, przed D trzeba znać zaprzeczenie czyli \(\displaystyle{ \exists_{a \in M} \exists_{b \in M} \neg D(a,b) "0"}\)

Powinno być: \(\displaystyle{ \exists_{a \in M} \exists_{b \in M} \neg D(a,b) "1"}\).

[yta]

Powinno być: \(\displaystyle{ \exists_{a \in M} \exists_{b \in M} \neg D(a,b) "1"}\).

Dlaczego 1 ? W zadaniu jest 1 więc zaprzeczenie to 0.