Zbadaj, czy wielomiany tworzą bazę przestrzeni

[eryczzek]

Zbadaj, czy wielomiany
\(\displaystyle{ f1= x^{2}-1}\)
\(\displaystyle{ f2= x-1}\) ,
\(\displaystyle{ f3=x^{2}+x+1}\)
tworzą bazę przestrzeni \(\displaystyle{ R_{2}[x]}\) Jeśli tak, wskaż macierz przejścia z bazy standardowej do tej bazy i wyznacz współrzędne wektora \(\displaystyle{ g=3x^{2} +3}\) w nowej bazie.

[lukasz1804]

Przez izomorfizm można utożsamić przestrzeń \(\displaystyle{ \RR_2[x]}\) z przestrzenią \(\displaystyle{ \RR^3}\) - wystarczy potraktować wielomian jako uporządkowaną trójkę jego kolejnych współczynników.

Może ten "zabieg" Ci pomoże.

[eryczzek]

niestety nie pomógł, chciałbym zobaczyć rozwiązanie, tego lub innego podobnego przykładu. Na tą chwilę nie ogarniam nic ;(

[miodzio1988]

Zrob to co napisał kolega i wyjdzie Ci macierz trzy na trzy. Musisz zbadać wyznacznik tej macierzy

[eryczzek]

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&0&-1\\0&1&-1\\1&1&1\end{array}\right]}\)
więc wyznacznik tego
\(\displaystyle{ \left|\begin{array}{ccc}1&0&-1\\0&1&-1\\1&1&1\end{array}\right|=3 \neq 0}\)

[miodzio1988]

CO zatem możemy powiedzieć o tych trzech wektorach?

[eryczzek]

są liniowo niezależne
edit
i tworzą bazę (z tw Steinitza)

[miodzio1988]

No to masz odpowiedz na pierwsze pytanie

Macierz przejscia teraz

[eryczzek]

hmmmmm
mamy macierz taką :
\(\displaystyle{ p=\left[\begin{array}{ccc}1&0&1\\0&1&1\\-1&-1&1\end{array}\right]}\)

[miodzio1988]

A skąd taką macierz masz? Pokaż jak liczysz

[eryczzek]

a to w takim razie źle, bo przepisałem z wielomianów współczynniki do kolumn. W tym zadaniu bede robil pierwszy raz przejście, mam definicję przed sobą, ale nie za bardzo do mnie przemawia

[miodzio1988]

Jaką masz zatem definicję? I co tam jest niejasnego ?

[eryczzek]

MAcierza przejscia z bazy B do B' w przestrzeni lin V(K) nazywamy macierz \(\displaystyle{ P \in M_{n x n} (K)}\)taką, że dla dowolnego wektora \(\displaystyle{ v=[ \alpha_{1},\alpha_{3},...,\alpha_{n}]=[\alpha^{'} _{1},\alpha^{'} _{2},...,\alpha^{'} _{n}]}\) mamy
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}\alpha^{'} _{1}\\...\\\alpha^{'} _{n}\end{array}\right]= p^{-1}\left[\begin{array}{ccc}\alpha _{1}\\...\\\alpha _{n}\end{array}\right]}\)

[miodzio1988]

No i jak z tego wyznaczyłeś \(\displaystyle{ P}\)?

[eryczzek]

no ja
\(\displaystyle{ f1= x^{2}-1}\)
\(\displaystyle{ f2= x-1}\) ,
\(\displaystyle{ f3=x^{2}+x+1}\)

Zapsiałem pierwszy wielomian w pierwszej kolumnie, drugi w drugiej, trzeci w trzeciejj
\(\displaystyle{ p=\left[\begin{array}{ccc}1&0&1\\0&1&1\\-1&-1&1\end{array}\right]}\)