Ciekawe łamigówki

[virtue]

1.Jak można skonstruować trójkąt równoboczny składając kwadratową kartkę papieru?
2.Znajdź trzy takie liczby, że iloczyn dowolnych dwóch dodany do trzeciej daje kwadrat.
3.Alicja była w kropce. "Ile to jest 19 razy 19? -zapytała królowa Kier.
"361" - odpowiedziała Alicja.
"Źle - odrzekła królowa Kier. - Odpowiedź brzmi 519"
Alicja była w kropce. A wszystko przez to, że zapomniano jej powiedzieć - po to po prostu, by trochę jej utrudnić zadanie - iż każda z cyfr w tym zadaniu reprezentuje zupełnie inną cyfrę.
Jaką liczbę reprezentuje 19?
4. 514 336 7522 13438 ?

[Althorion]

Ad 2.:
Trzy zera.

[virtue]

Ad 2.:
Trzy zera.

Jest też inne rozwiązanie, mniej trywialne

[yorgin]

Mniej trywialne:    

\(\displaystyle{ (0,0,1)\\
(0,1,1)\\
(-1,-1,-1)}\)

Ad1:    

Zginamy kwadrat na pół wzdłuż boku. Rozkładamy papier. Dalej zginamy tak, by jeden z wierzchołków kwadratu znalazł się na linii utworzonej w poprzednim zgięciu. Położenie wierzchołka w ostanim zgięciu wyznacza wierzchołek trójkąta równobocznego, dwa pozostałe wierzchołki trójkąta to rogi kwadratu.

[pyzol]

NIe ma mowy, że mają to być naturalne, więc jest to prawdziwe dla wszystkich nieujemnych
Ale mnie trywialne, to chyba da rady \(\displaystyle{ 0,1,n^2}\)

[Althorion]

Ad 3.:
\(\displaystyle{ 1 \to 2; 9 \to 5; 5 \to 6}\), więc \(\displaystyle{ (19 \cdot 19 = 519) \to (25 \cdot 25 = 625)}\)

[virtue]

Jest rozwiązanie do zd2 w N+

-- 29 kwi 2014, o 12:33 --

Dobrze rozwiązane zd1 przez yorgin i zd3 przez Althorion

[Mefistocattus]

Jest rozwiązanie do zd2 w N+

… a nawet nieskończenie wiele takich rozwiązań. Chociażby każda trójka \(\displaystyle{ (1,1,n^2-1)}\).

No ale dobra, oszukiwałem, bo napisałem i puściłem sobie programik i, dla \(\displaystyle{ a,b,c<100}\), mamy taką oto listę:

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ (1, 1, 3)}\)
\(\displaystyle{ (1, 1, 8)}\)
\(\displaystyle{ (1, 1, 15)}\)
\(\displaystyle{ (1, 1, 24)}\)
\(\displaystyle{ (1, 1, 35)}\)
\(\displaystyle{ (1, 1, 48)}\)
\(\displaystyle{ (1, 1, 63)}\)
\(\displaystyle{ (1, 1, 80)}\)
\(\displaystyle{ (1, 1, 99)}\)
\(\displaystyle{ (1, 3, 33)}\)
\(\displaystyle{ (1, 4, 12)}\)
\(\displaystyle{ (1, 7, 9)}\)
\(\displaystyle{ (1, 7, 57)}\)
\(\displaystyle{ (1, 8, 28)}\)
\(\displaystyle{ (1, 9, 40)}\)
\(\displaystyle{ (1, 12, 24)}\)
\(\displaystyle{ (1, 12, 52)}\)
\(\displaystyle{ (1, 16, 33)}\)
\(\displaystyle{ (1, 17, 19)}\)
\(\displaystyle{ (1, 17, 64)}\)
\(\displaystyle{ (1, 24, 40)}\)
\(\displaystyle{ (1, 24, 57)}\)
\(\displaystyle{ (1, 25, 96)}\)
\(\displaystyle{ (1, 31, 33)}\)
\(\displaystyle{ (1, 40, 60)}\)
\(\displaystyle{ (1, 49, 51)}\)
\(\displaystyle{ (1, 60, 84)}\)
\(\displaystyle{ (1, 71, 73)}\)
\(\displaystyle{ (1, 97, 99)}\)
\(\displaystyle{ (4, 4, 48)}\)
\(\displaystyle{ (4, 9, 28)}\)
\(\displaystyle{ (4, 12, 33)}\)
\(\displaystyle{ (4, 28, 57)}\)
\(\displaystyle{ (4, 33, 64)}\)
\(\displaystyle{ (4, 57, 96)}\)
\(\displaystyle{ (8, 8, 17)}\)
\(\displaystyle{ (8, 17, 89)}\)
\(\displaystyle{ (9, 9, 63)}\)
\(\displaystyle{ (9, 16, 52)}\)
\(\displaystyle{ (9, 28, 72)}\)
\(\displaystyle{ (12, 24, 73)}\)
\(\displaystyle{ (12, 33, 88)}\)
\(\displaystyle{ (16, 25, 84)}\)
\(\displaystyle{ (16, 49, 57)}\)
\(\displaystyle{ (49, 49, 99)}\)

[virtue]

Takie rozwiązanie jest bezwartościowe, to tak samo jakby usłyszeć od kogoś rozwiązanie i wpisać go.W łamigłówkach chodzi o to, żeby pobudzić logiczne myślenie i znaleź prawidłowości jakim kieruje się zadanie.

[virtue]

Wrzucam kolejne 3 zagadki:
1.Trzech mężczyzn, każdy z siostrą musi przeprawić się przez rzekę. Każdy z nich pożąda siostry innego.
Znaleźli jedynie małą łódkę, w której mogą przepłynąć dwie osoby naraz. Jak mają pokonać rzekę aby żadna kobieta nie została znieważona?
2.Jaki będzie kolejny wyraz ciągu:
82 92 232 ?
3.Znajdź liczbę rzeczywistą taką, że liczba otrzymana po dodaniu lub odjęciu 5 od jej kwadratu jest również kwadratem.

[Kartezjusz]

3.Na pewno chodziło o rzeczywiste rozwiązania ?
Jeśli całkowite, to

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ x^{2} \pm 5 = y^{2}}\) Przenosząc na drugą stronę mamy
\(\displaystyle{ y^{2}-x^{2}=(x+y)(x-y) \pm 5}\) I suma i różnica muszą być całkowite. 6 par \(\displaystyle{ (x+y, x-y)}\) kandydują \(\displaystyle{ (1,5);(5,1);(-1,5);(-5,1);(5,-1);(1,-5)}\) 8 par zostaje: \(\displaystyle{ (2,3)}\), liczby powstałe do dodania minusów do współrzędnych i permutacje.

Zadanie drugie z poprzedniego zestawu można uogólnić.

Ukryta treść:    

Rozważmy \(\displaystyle{ n^{2}}\) i weźmy dowolną liczbę \(\displaystyle{ k < n^{2}}\) Dla dowolnego dzielnika \(\displaystyle{ d}\) liczby \(\displaystyle{ k}\) problem spełnia trójka \(\displaystyle{ (d, \frac{k}{d}, n^{2}-k )}\) spełnia warunki.