Rozwiązać zagadnienie Cauchyego

[hubertwojtowicz]

Mam do rozwiązania takie zagadnienie:
\(\displaystyle{ \begin{cases} y^2u_x+x^2u_y=(x+y)u\\ L: u(x,0)= \frac{sin x}{x};x \neq 0 \end{cases}}\)
Wyznaczyłem sobie całki pierwsze:
\(\displaystyle{ C_1 =x^3-y^3}\) (*) oraz (tu nie mam pewności czy dobrze):
\(\displaystyle{ \frac{dy}{x^2}= \frac{du}{u(x+y)}}\)
\(\displaystyle{ C_2 = \frac{y}{x}+ \frac{y^2}{2x^2}-ln\left| u\right|}\) (**)
Co dalej daje mi ten warunek krzywej?
Rozumiem z niego, że y jest zerem, x może być wzięte jako parametr \(\displaystyle{ t \in R \setminus \left\{ 0\right\}}\), to wtedy \(\displaystyle{ u=\frac{sint }{t}}\)

Dalej konsekwentnie (x=t,y=0,u=sin t /t) napisałbym:
\(\displaystyle{ C_1 = t^3}\) oraz
\(\displaystyle{ C_2 = - ln \left| \frac{sin t}{t} \right|}\)
Zapisałby, że:
\(\displaystyle{ -C_2=ln \left| \frac{sin t}{t} \right| \rightarrow e^{-C_2} = \left| \frac{sin t}{t}\right| \rightarrow e^{-C_2}- \left| \frac{sin { \sqrt[3]{C_1} }}{\sqrt[3]{C_1}}\right| =0}\)
Na koniec wstawiłbym (*) i (**) do ostatniego równania i miałbym rozwiązanie w postaci uwikłanej.
Czy popełniłem jakieś błędy?
Dzięki za sprawdzenie i krytykę.
Pozdrawiam
Hubert