Wyznaczenie mocy

[Lewo]

Nie wiem jak podzielić ten zbiór aby wyznaczyć moce.
0) \(\displaystyle{ \left\{ \left( A, B\right) \in P\left( \left[ n\right] \right)^{2}: A \subseteq B \right\}}\)

Początek rozwiązania idzie tak:
1) \(\displaystyle{ \left| B\right| = K}\)
2) \(\displaystyle{ \left| \left\{ A: A \subseteq B\right\} \right| = \left| P\left( B\right) \right| = 2^{K}}\)
3) \(\displaystyle{ \left| \left\{ B: \left| B \right|=k \wedge B \in \left[ n\right] \right\} \right| = {n \choose k}}\)

dlaczego zbiór 0) rozbiliśmy na takie 3? w pozniejszym rozwiązaniu widzę sens w tym że jest 1) zapisana tak bo się sumuje po mocach \(\displaystyle{ K}\) od \(\displaystyle{ k=0}\) do \(\displaystyle{ n}\) ale nie rozumiem dlaczego takie rozbicie zbioru jest.

[Jan Kraszewski]

Co to jest \(\displaystyle{ [n]}\) ?

JK

[Lewo]

zbiór \(\displaystyle{ \left\{ 1, 2, ...., n \right\}}\)

[Jan Kraszewski]

\(\displaystyle{ \left\{ \left( A, B\right) \in P\left( \left[ n\right] \right)^{2}: A \subseteq B \right\}=
\bigcup_{k=0}^{n}\left\{ \left( A, B\right) \in P\left( \left[ n\right] \right)^{2}: |B|=k\land A \subseteq B \right\}}\)

\(\displaystyle{ \left\{ \left( A, B\right) \in P\left( \left[ n\right] \right)^{2}: |B|=k\land A \subseteq B \right\}=
\bigcup_{B\in P\left( \left[ n\right] \right), |B|=k} \left\{ \left( A, B\right): A \in P( B) \right\}}\)

JK