całka podstawienie biegunowe

[anetaaneta1]

Mam do policzenia całkę \(\displaystyle{ \int_{}^{} \int_{D}^{} 2 \sqrt{ x^{2} + y^{2} } dxdy}\)
gdzie \(\displaystyle{ D=\left\{ \left( x,y \right) \right\ : \left( x-2\right) ^{2}+y ^{2} \le 4 }}\) i stosuje podstawienie biegunowe ale nie wiem w jakim przedziale ma być kąt \(\displaystyle{ \varphi}\)

[a4karo]

Zrób najpierw tak: \(\displaystyle{ u=x-2, v=y}\), a potem zmienne biegunowe

[anetaaneta1]

A nie da się od razu z rysunku tego kąta odczytać ? bo chodzi mi o to czy ten kąt może być w takim przedziale \(\displaystyle{ [- \frac{ \pi }{2}, \frac{ \pi }{2}]}\) ?

[a4karo]

Rozumiem, że myślisz o biegunie umieszczonym w punkcie \(\displaystyle{ (0,0)}\). Wtedy rzeczywiście kąt zmienia się od \(\displaystyle{ -\pi/2}\) do \(\displaystyle{ \pi/2}\), ale będziesz miała potworny kłopot z wyznaczeniem granic w jakich zmienia się \(\displaystyle{ r}\).

[anetaaneta1]

ale \(\displaystyle{ r}\) mam już wyznaczone podstawiłam za \(\displaystyle{ x=r \cos\varphi, y=r \sin\varphi}\) do równania ze zbioru \(\displaystyle{ D}\) i wyszło mi \(\displaystyle{ 0 \le r \le 4 \cos\varphi}\)

[a4karo]

no to ok. w takim razie miłego całkowania

[anetaaneta1]

ale to całkowanie to mi wychodzi, bo tam się uprości i wyjdzie tylko pytanie czy kąt \(\displaystyle{ \varphi}\) może być ujemny bo na zajęciach miałam podane że kąt musi należeć do przedziału \(\displaystyle{ \varphi \in \left[ 0,2 \pi \right]}\)

[lokas]

ale to całkowanie to mi wychodzi, bo tam się uprości i wyjdzie tylko pytanie czy kąt \(\displaystyle{ \varphi}\) może być ujemny bo na zajęciach miałam podane że kąt musi należeć do przedziału \(\displaystyle{ \varphi \in \left[ 0,2 \pi \right]}\)

Może być ujemny gdyż sinus i kosinus są okresowe.-- 25 kwi 2014, o 20:47 --Tylko dlaczeko bierzesz przedział \(\displaystyle{ [- \frac{ \pi }{2}, \frac{ \pi }{2}]}\)? Nie będzie to pełne koło tylko połowka.

[a4karo]

oj, bo obszar całkowania leży w pierwszej i czwartej ćwiartce.

[lokas]

Możliwe ale nie widzę żeby gdzieś było to napisane.

[anetaaneta1]

no to koło leży w pierwszej i czwartej ćwiartce, to mogę wziąć przedział \(\displaystyle{ \varphi\left( - \frac{ \pi }{2}, \frac{ \pi }{2} \right)}\) ? czy muszę \(\displaystyle{ \left( 0, \pi \right)}\)?

[lokas]

no to koło leży w pierwszej i czwartej ćwiartce, to mogę wziąć przedział \(\displaystyle{ \varphi\left( - \frac{ \pi }{2}, \frac{ \pi }{2} \right)}\) ? czy muszę \(\displaystyle{ \left( 0, \pi \right)}\)?

Nie o to chodzi, okres sinusa i kosinusa to \(\displaystyle{ 2 \pi}\), twój przedział ma długość \(\displaystyle{ \pi}\),nie ma mowy żeby koło się zamknęło.

[a4karo]

Koło leży w obszarze, gdzie \(\displaystyle{ \pi/2<\varphi<\pi/2}\).

@lokas
calkowanie odbywa sie po kole o śrdoku \(\displaystyle{ (2,0)}\) i promieniu 2.

[lokas]

Jak dla mnie to dalej jest niepełne koło.

[a4karo]

To sobie to narysuj. Jak umieścisz biegun w punkcie \(\displaystyle{ (0,0)}\), to równanem brzegu tego koła jest \(\displaystyle{ r=4\cos \varphi,\ -\pi/2\leq \varphi<\pi/2}\)