Granica skomplikowanej funkcji w zerze

[wtz]

Oblicz:
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to 0} \left(\frac{\tg x}{x}\right) ^{ \frac{1}{x^{2}} }}\)

próbowałem używać de L'Hospitala i jakichś klasycznych przekształceń, ale nie wychodzi. Proszę o pomoc. Z góry dziękuję.

[a4karo]

Wsk. Policz granice logarytmu tego wyrażenia

[wtz]

Właśnie tak próbowałem robić, ale nie wychodzi, różniczkowałem 2 razy i dalej dostałem wyrażenie nieoznaczone. Bardzo bym prosił o pełne rozwiązanie. Z góry dzięki.

[miodzio1988]

Pokaz jak liczysz, powiem co jest zle/do poprawy

[Edward W]

Ukryta treść:    

Wykryto nadużycie, patrz - kolejne posty, więc:

\(\displaystyle{ \red{Nie}}\) Można tak:

\(\displaystyle{ \lim_{x\to\ 0} \left(\frac{\tg x}{x}\right)^{\frac{1}{x^2}}=\lim_{x\to\ 0}\left(\frac{\sin x}{x}\cdot\frac{1}{\cos x}\right)^{\frac{1}{x^2}}=\lim_{x\to\ 0}\left(\frac{1}{\cos x}\right)^{\frac{1}{x^2}}\\=\lim_{x\to\ 0}\left[\left(1+\frac{1}{\frac{\cos x}{1-\cos x}}\right)^{\frac{\cos x}{1-\cos x}}\right]^{\frac{1-cosx}{x^2\cos x}}\stackrel{(*)}{=}\sqrt{e}}\)

\(\displaystyle{ (*)\lim_{x\to\ 0}\frac{1-\cos x}{x^2\cos x} \stackrel{(**)}{=}\lim_{x\to\ 0}\frac{\sin^2 x}{(1+\cos x)x^2\cos x} \\=\lim_{x\to\ 0}\frac{\sin^2 x}{x^2}\cdot\frac{1}{\cos x(1+\cos x)} = \frac{1}{2}}\)

\(\displaystyle{ (**) \sin^2 x+\cos^2 x = 1\iff \sin^2 x = (1-\cos x)(1+\cos x)}\), stąd:
\(\displaystyle{ 1-\cos x=\frac{\sin^2 x}{1+\cos x}}\).

[a4karo]

To rozumowanie zawiera nadużycie:
Dlaczego pozbyłes się czynnika \(\displaystyle{ \left(\frac{\sin x}{x}\right)^{1/x^2}}\) ?.

Jeżeli użyjesz tu argumentu, że wyrażenie w nawiasie dazy do 1, to przecież \(\displaystyle{ 1/\cos x}\) tez dąży do jedynki, więc czemu w ogóle cokolwiek liczysz?

[norwimaj]

Ja też nie bardzo wierzę w to, że \(\displaystyle{ \lim_{x\to0}\left(\frac{\sin x}x\right)^{\frac1{x^2}}=1}\). Przecież

\(\displaystyle{ \left(\frac{\sin x}x\right)^{\frac1{x^2}}=
\left(1-\frac{x^2}6+o(x^2) \right)^{\frac1{x^2}}.}\)

Jeśli dobrze pamiętam, takie coś dąży do \(\displaystyle{ \exp\left(-\frac16\right)}\).

[Edward W]

No, co prawda \(\displaystyle{ \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1}\), ale chyba jednak rzeczywiście się tam trochę pospieszyłem skupiając się na działaniach w nawiasie.

[wtz]

Jedyne co potrafię zrobić:

\(\displaystyle{ \left(\frac{\tg x}{x}\right) ^{ \frac{1}{x^{x} }} = e ^{ \frac{\ln \left(\frac{\tg x}{x} \right)}{x^{2}} } \\ \lim_{x \to 0} \frac{\ln \left(\frac{\tg x}{x} \right)}{x^{2}} = \lim_{x \to 0} \frac{\left[\ln \left( \tg x \right) -\ln \left(x \right) \right] \prime} { \left[ x^{2} \right] \prime } = \lim_{x \to 0} \frac{ \frac{1}{\tg \left(x\right)} \cdot \frac{1}{\cos^{2}x} - \frac{1}{x} }{2x}= \\ = \lim_{ x\to 0 } \frac{x \ - \ \sin x \ \cdot \ \cos x }{2x^{2} \ \cdot \sin x \ \cdot \ \cos x }}\)

Niestety to niczego nie rozwiązuje, a różniczkowanie jeszcze raz nie jest zbyt kuszące. Wolfram podaje odpowiedź

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ e^{ \frac{1}{3} }}\)

, ale dalej nie wiem jak to policzyć.

[yorgin]

\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} \frac{\ln \left(\frac{\tg x}{x} \right)}{x^{2}} = \lim_{x \to 0} \frac{\left[\ln \left( \tg x \right) -\ln \left(x \right) \right] \prime} { \left[ x^{2} \right] \prime } = \lim_{x \to 0} \frac{ \frac{1}{\tg \left(x\right)} \cdot \frac{1}{\cos^{2}x} - \frac{1}{x} }{2x}= \\

= \lim_{ x\to 0 } \frac{x \ - \ \sin x \ \cdot \ \cos x }{2x^{2} \ \cdot \sin x \ \cdot \ \cos x }}\)

Zapisz \(\displaystyle{ \cos x\sin x=\frac{1}{2}\sin 2x}\).

Potem jeszcze trzy razy reguła de l'Hospitala (nie takie straszne rachunki, alecierpliwości!) i wyjdzie ostatecznie granica równa \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\).

[norwimaj]

Ewentualnie można skorzystać z poprzednich postów. Skoro \(\displaystyle{ \lim_{x\to\ 0}\left(\frac{1}{\cos x}\right)^{\frac{1}{x^2}}=e^{\frac12}}\) oraz \(\displaystyle{ \lim_{x\to0}\left(\frac{\sin x}x\right)^{\frac1{x^2}}=e^{-\frac16}}\), to do czego może dążyć \(\displaystyle{ \left(\frac{\tg x}{x}\right) ^{ \frac{1}{x^{x} }}}\)?-- 9 maja 2014, o 21:18 --Nawiasem mówiąc, \(\displaystyle{ \cos x=1-\frac{x^2}2+o(x^2)}\), co daje drugi sposób obliczenia \(\displaystyle{ \lim_{x\to\ 0}\left(\frac{1}{\cos x}\right)^{\frac{1}{x^2}}}\).

[wtz]

Dzięki wielkie wszystkim.

[Marcinek665]

Temat jest ciekawy, więc pozwolę sobie wtrącić swoje trzy grosze.

Proszę zapamiętać następujący lemat

Jeśli \(\displaystyle{ a_n}\) oraz \(\displaystyle{ b_n}\) są ciągami o granicach \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} a_n = 0}\) oraz \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} b_n = \infty}\), to granica \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \left( 1 + a_n \right) ^{b_n} = e^g}\), gdzie \(\displaystyle{ g = \lim_{n \to \infty} a_n b_n}\).

Oczywiście lemat przenosi się z powodzeniem również na funkcje.

Spróbujmy go zastosować do poniższego zadania:

\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} \left( \frac{\tg x}{x} \right)^{\tfrac{1}{x^2}} = \lim_{x \to 0} \left( 1 + \left( \frac{\tg x}{x} - 1 \right) \right)^{\tfrac{1}{x^2}} = e^{g}}\), gdzie \(\displaystyle{ g = \lim_{x \to 0} \left( \frac{\tg x}{x} - 1 \right) \cdot \frac{1}{x^2}}\)

Każde przejście jest legalne, bo \(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} \frac{ \tg x}{x} - 1 = 0}\), a \(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2} = \infty}\). A granicę tę już łatwo obliczyć metodami licealnymi. Oczywiście wychodzi \(\displaystyle{ g = \frac{1}{3}}\).