Równanie przewodnictwa cieplnego

[rollerboller]

Mam do rozwiązania zadanie dotyczące temperatury gleby, która jest określona pewnym równaniem różniczkowym cząstkowym. Niestety nie jestem w stanie poradzić sobie już z pierwszymi zadaniami, więc proszę Was o pomoc.

A oto treść:
Zakładamy, że temperatura zależy jedynie od czasu \(\displaystyle{ t}\) i głębokości \(\displaystyle{ x}\). Dodatkowo uznajemy za rozsądne warunki początkowe (temp na powierzchni, gdzie \(\displaystyle{ x = 0}\)):
\(\displaystyle{ u(0,t) = T_{0} + A_{0}*cos(wt)}\)

\(\displaystyle{ T_{0}}\) to średnia temperatura. \(\displaystyle{ A_{0}}\) to amplituda wariacji temperatury w ciągu roku, natomiast \(\displaystyle{ w}\) to częstotliwość o okresie jeden rok.
\(\displaystyle{ w = \frac{2\pi}{rok} \approx 1.991 \times 10^{-1}s^{-1}}\)

Uznajemy, że temperatura spełnia poniższe równanie:
\(\displaystyle{ \frac{ \partial U}{ \partial t} = k^{2}* \frac{ \partial^{2}U}{ \partial x^{2}}}\)

Odchylenie jest dane przez: \(\displaystyle{ U(x,t) = u(x,t) - T_{0}}\)
Warunek brzegowy/krańcowy to: \(\displaystyle{ U(0,t)= A_{0}cos(wt)}\)
Uznajemy, że dyfuzywność termalna \(\displaystyle{ k^{2}}\) ma wartość: \(\displaystyle{ k^{2} \approx 5 \times 10^{-3}cm *s^{-1}}\)

Zadanie 1.
Jesteśmy zainteresowani jedynie rozwiązaniami cyklicznymi, tj.:
\(\displaystyle{ U(x,t) = V(x)cos(wt) + W(x)sin(wt)}\)

Wykaż, że możemy traktować \(\displaystyle{ U}\) jako część rzeczywistą funkcji urojonej \(\displaystyle{ Z}\)
\(\displaystyle{ Z(x,t) = X(x)e^{iwt}}\)
gdzie \(\displaystyle{ X}\) też może być urojoną funkcją, która spełnia równanie ciepła i warunki brzegowe dane przez:

\(\displaystyle{ \frac{ \partial Z}{ \partial t} = k^{2}* \frac{ \partial^{2}Z}{ \partial x^{2}}}\)

\(\displaystyle{ T(0,t)=A_{0}e^{iwt}}\)

Zadanie 2.
Wykaż, że ogólne rozwiązanie jest dane przez:
\(\displaystyle{ X(x) = c_{1}exp[-\alpha\sqrt{\frac{w}{2k^{2}}}x] + c_{2}exp [\alpha\sqrt{ \frac{w}{2k^{2}}}x]}\)
i znajdź wartość \(\displaystyle{ \alpha}\)

[miodzio1988]

Zad 1 wzór Eulera się kłania dla liczb zespolonych

Zad 2 Poczytaj o metodzie Fouriera dla równan rozniczkowych cząstkowych

[rollerboller]

Jeśli chodzi o zadanie pierwsze, to na razie zrobiłam to:

\(\displaystyle{ Z(x,t) = X(x)e^{iwt}}\)
\(\displaystyle{ Z(x,t) = X(x)cos(wt) + iX(x)sin(wt)}\)

Rozumiem, że część rzeczywista funkcji \(\displaystyle{ Z}\) to \(\displaystyle{ Z(x,t) = X(x)cos(wt)}\) i to jest także cześć \(\displaystyle{ U(x,t)}\) jeśli uzna się, że \(\displaystyle{ W(x)=0}\).

Podobnie jest z warunkami brzegowymi:
\(\displaystyle{ Z(0,t) = A_{0}cos(wt) + iA_{0}sin(wt)}\)
gdzie częścią rzeczywistą jest \(\displaystyle{ A_{0}cos(wt)}\) co jest także warunkiem brzegowym \(\displaystyle{ U}\).

Mam wątpliwości czy rozwiązanie tego zadania polega właśnie na "porównywaniu" funkcji czy może jednak trzeba coś więcej zrobić?

[miodzio1988]

gdzie \(\displaystyle{ X}\) też może być urojoną funkcją, która spełnia równanie ciepła i warunki brzegowe dane przez:

Więc czemu pomijasz ten pierwszy składnik?

[rollerboller]

Rozumiem, że masz na myśli fakt, że mogę rozbić \(\displaystyle{ X(x)}\) na część rzeczywistą i urojoną.

Czyli mogę to zapisać w ten sposób:
\(\displaystyle{ Z(x,t) = [Re(X(x)) + Im(X(x)]cos(wt) + i[Re(X(x) + Im(X(x)]sin(wt)}\)
gdzie zapisuje część rzeczywistą jako \(\displaystyle{ Re}\), a urojoną jako \(\displaystyle{ Im}\)

Po poukładaniu składników, mam dostać, że część rzeczywista to \(\displaystyle{ U(x,t)}\) a urojona, to co zostanie. Mam jednak wątpliwosć jak sobie poradzić z tą częścią \(\displaystyle{ i[Re(X(x) + Im(X(x)]sin(wt)}\).

Czy pomnożenie części urojonej przez \(\displaystyle{ i}\) sprawia, że ta część staje się rzeczywista?

[miodzio1988]

\(\displaystyle{ [Re(X(x)) + i \cdot Im(X(x)]}\)

Tak to musisz zapisać

[rollerboller]

Czyli:
\(\displaystyle{ Z(x,t) = [Re(X(x)) + Im(X(x)]cos(wt) + [Re(X(x) + iIm(X(x)]sin(wt)
Z(x,t) = Re(X(x))[cos(wt) + sin(wt)] + Im(X(x))[cos(wt) + isin(wt)]}\)
i ostatniecznie
\(\displaystyle{ U(x,t) = Re(X(x))[cos(wt) + sin(wt)]}\)
ale to by oznaczało, że \(\displaystyle{ V(x)}\)i \(\displaystyle{ W(x)}\) są równe. Zatem muszę jakoś inaczej oznaczyć część rzeczywistą z \(\displaystyle{ i*X(x)}\), tak?

[miodzio1988]

Zupełnie nie robisz tego co mówię. Jeszcze raz to przelicz wstawiając wszystko tak jak mówię

[rollerboller]

Czyli \(\displaystyle{ X(x) = Re(X(x)) + i \cdot Im(X(x)}\)

więc \(\displaystyle{ Z(x,t) = [Re(X(x)) + i \cdot Im(X(x)]cos(wt) + i \cdot [Re(X(x) + i \cdot Im(X(x)]sin(wt)
Z(x,t) = Re(X(x))cos(wt) + i \cdot Im(X(x))cos(wt) + i \cdot Re(X(x))sin(wt) - Im(X(x))sin(wt)}\)

Czy teraz jeśli "skasowało się" \(\displaystyle{ i}\) przy \(\displaystyle{ sin(wt)}\) to \(\displaystyle{ Im(X(x))}\) przy \(\displaystyle{ sin(wt)}\) staje się częścią rzeczywistą, a pomnożona część rzeczywista \(\displaystyle{ Re(X(x))sin(wt)}\) przez \(\displaystyle{ i}\) staje się urojoną?

[miodzio1988]

z założenia \(\displaystyle{ Im(X(x)}\) to już jest funkcja rzeczywista

[rollerboller]

Ok, zatem dochodzę do punktu, gdzie
\(\displaystyle{ Z(x,t) = Re(X(x))cos(wt) + i \cdot Im(X(x))cos(wt) + i \cdot Re(X(x))sin(wt) - Im(X(x))sin(wt)

Z(x,t) = Re(X(x))cos(wt) + Im(X(x))sin(wt) + i \cdot [Im(X(x))cos(wt) + Re(X(x))sin(wt)]}\)

i:
\(\displaystyle{ Re(Z(x,t))= Re(X(x))cos(wt) - Im(X(x))sin(wt) = U(x,t)}\)
Zatem \(\displaystyle{ V(x) = Re(X(x))}\) i \(\displaystyle{ W(x) = -Im(X(x))}\)

Tak?

Edit: poprawiony minus

[miodzio1988]

Minusa zjadłaś. No wydaje się sensownie

Nigdzie nie skorzystaliśmy z warunku, że spełnia dane równanie różniczkowe cząstkowe.
Martwi Cię to?

[rollerboller]

Rozwiazując to zadanie, zastanawiałam się jak należy użyć tego warunku.
Wiem, że będę go używać w drugim zadaniu, ale nie wiem co z nim zrobić, jeśli chodzi o zadanie pierwsze?-- 23 kwi 2014, o 16:20 --Jeśli chodzi o drugie zadanie, to zaczęłam w ten sposób:

\(\displaystyle{ Z(x,t)=X(x)T(t)}\), gdzie \(\displaystyle{ T(t)= e^{iwt}}\)

Czyli stosując metodę separacji zmniennych dochodzimy do:

\(\displaystyle{ \frac{X''(x)}{X(x)} = \frac{iw}{k^{2}}}\)

\(\displaystyle{ k^{2}X''(x) - iwX(x) = 0}\)

ale coś tutaj nie gra, bo nie dochodzę do wyniku, który powinnam dostać...

[miodzio1988]

A czemu z miejsca takie \(\displaystyle{ T}\) zapisujesz?

[rollerboller]

A jakie powinno być?