Sprawdź czy funkcja jest homomorfizmem i wyznacz ker i im

[VillagerMTV]

Witam!
Prosiłbym o sprawdzenie czy dobrze rozumuje.
Mam funkcję \(\displaystyle{ f: \mathhbb{Z} \rightarrow \mathhbb{Z}, f(a)=na, n \in \mathbb{N}}\)
Czy jest homomorfizmem:
\(\displaystyle{ f(a+b)=n(a+b)=na+nb=f(a)+f(b)}\), czyli ok i teraz jądro:
\(\displaystyle{ na=1}\) i mam wyznaczyć teraz z tego\(\displaystyle{ a}\)?
A jak z obrazem?

[Kacperdev]

a nie przypadkiem.... \(\displaystyle{ na=0}\) ?
i teraz pytamy dla jakiego \(\displaystyle{ a}\) jest to spełnione.

Funkcja działa tak, że mnożymy liczbę naturalną razy całkowitą... stąd co jest obrazem?

[VillagerMTV]

a nie przypadkiem.... ?

Przypadkiem rzeczywiście.

Funkcja działa tak, że mnożymy liczbę naturalną razy całkowitą... stąd co jest obrazem?

Liczby całkowite?

[Kacperdev]

Zgadza się.

Czyli \(\displaystyle{ Im \left( f\right) = \ZZ}\)
\(\displaystyle{ ker \left( f\right) = \left\{ 0\right\}}\)

stąd przekształcenie jest homomorfizmem a konkretiej automorfizmem.

[VillagerMTV]

Dziękuję

[adamglos92]

Z jądrem się zgadzam, natomiast \(\displaystyle{ Imf = n \mathbb{Z} = \{nz \colon z \in \mathbb{Z} \}}\)

[Kacperdev]

Z jądrem się zgadzam, natomiast \(\displaystyle{ Imf = n \mathbb{Z} = \{nz \colon z \in \mathbb{Z} \}}\)

Nie jestem przekonany co do porawności zapisu: \(\displaystyle{ n\ZZ}\). Mnożenie elementu razy zbiór?
Poza tym co merytorycznie to zmienia?

[adamglos92]

Jest to skrótowy zapis, którego dokładna postać jest rozpisana dalej. Intuicja podpowiedziała mi, że może to być potrzebne, więc rozpisałem:)

Funkcja jest homomorfizmem dla z góry ustalonego \(\displaystyle{ n}\). Weźmy przykładowo \(\displaystyle{ n=2}\). Wówczas \(\displaystyle{ Imf=2\mathbb{Z} = \{2z \colon z \in \mathbb{Z}\}}\), czyli zbiór liczb całkowitych parzystych.

Dodam, że twój wzór jest prawdziwy dla \(\displaystyle{ n = \pm 1}\)

[Althorion]

\(\displaystyle{ n}\) miało być naturalne, więc tylko dla \(\displaystyle{ n=1}\).

[Kacperdev]

Przyznaję racje. Zła interpretacja polecenia.

[adamglos92]

Faktycznie naturalne -- przegapiłem.

[AiDi]

Nie jestem przekonany co do porawności zapisu: \(\displaystyle{ n\ZZ}\). Mnożenie elementu razy zbiór?

Ciekawe, bo to przecież standardowe i szeroko używane oznaczenie.