Wszystko o "Rzut dwiema kostkami"

[mat_61]

Może jeszcze ja spróbuję to wyjaśnić w trochę inny sposób.

Leszczu450, w Twoim podejściu "mieszają" się możliwe do uzyskania/zobaczenia wyniki rzutu dwoma kostkami oraz możliwe zdarzenia elementarne uwzględniane przy klasycznej definicji p-stwa.
Oczywiście przy rzucie dwoma nierozróżnialnymi kostkami możliwych jest \(\displaystyle{ 21}\) różnych wyników rzutu które możemy zaobserwować. I w takim stwierdzeniu nie ma żadnego błędu. Rzecz w tym, że dla tak rozumianych wyników nie można do obliczeń p-stwa stosować klasycznej definicji. Klasyczna definicja p-stwa wymaga bowiem tego, żeby wszystkie zdarzenia elementarne były jednakowo prawdopodobne. Musimy więc wybrać taki model, aby ten warunek był spełniony. A w tym modelu gdzie mamy \(\displaystyle{ 21}\) zdarzeń elementarnych tak nie jest, ponieważ uzyskanie wyniku \(\displaystyle{ \left\{ 2, 1\right\}}\) jest dwa razy bardziej prawdopodobne niż uzyskanie wyniku \(\displaystyle{ \left\{ 2,2\right\}}\). Traktowanie \(\displaystyle{ 21}\) możliwych wyników jako jednakowo prawdopodobnych zdarzeń elementarnych nie odpowiada więc rzeczywistemu doświadczeniu.

Poczytaj np. tutaj, wyjaśnienie bardziej elementarne: https://www.matematyka.pl/224654.htm#p833433 czy też tutaj, wyjaśnienie bardziej formalne: https://www.matematyka.pl/255517.htm#p963106.

[leszczu450]

mat_61, cieszę się, że tu zajrzałeś ! Super wielkie dzięki za odpowiedź. Jednak nadal nie wiem, czy patrzenie na sprawe pod kątem wyników - \(\displaystyle{ 21}\) jest złe pod względem matematycznym czy złe pod kątem rzeczywistości? Dlaczego to podejście jest nieużywane?

[pyzol]

Tak naprawdę, takie rzeczy sprawdzone zostały empirycznie. Rzuć 1000 razy dwiema "niby identycznymi" monetami i pozliczaj, co i jak często się pojawiło. Okaże się że prawdopodobieństwo wypadnięcia orła i reszki jest równe \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\). Co pasuje do modelu, w którym jednak monety rozróżniamy.

[mat_61]

Leszczu450, nie jest złe pod żadnym względem (przeczytaj uważnie to co jest w podanych przeze mnie linkach), tylko trzeba być konsekwentnym i mieć świadomość tego jaki przyjęliśmy model do obliczeń.

1. Jeżeli przyjąć mamy odpowiadający rzeczywistemu doświadczeniu model w którym zdarzenia są jednakowo prawdopodobne, to nie możemy założyć nierozróżnialności kostek. Kostki są fizycznie dwie (nieważne czy je rozróżniamy) i wynik \(\displaystyle{ \left\{ 1, 2\right\}}\) możemy uzyskać na dwa różne sposoby. W takim modelu mamy \(\displaystyle{ 36}\) zdarzeń elementarnych i p-stwo uzyskania powyższego wyniku wynosi \(\displaystyle{ P(A)= \frac{2}{36}}\). Obliczenia odpowiadają klasycznej definicji p-stwa.

2. Jeżeli przyjmiemy model w którym kości są nierozróżnialne, to:

Jeśli chcemy już na poziomie modelu mieć różnicę pomiędzy rzutem jednakowymi koścmi a rzutem różnokolorowymi, wówczas możemy dla rzutu jednakowymi kośćmi rozważyć inny model:

\(\displaystyle{ \Omega=\{(a,b):a\le b\}}\)

czyli rozważamy pary takie, że pierwsza współrzędna jest niewiększa od drugiej.

Wówczas:

\(\displaystyle{ n(\Omega)=21}\)

co jest liczbą wszystkich takich par. Wówczas jednak prawdopodobieństwo musimy inaczej określić, przynajmniej jeśli chcemy mieć zgodność z rzeczywistością. Mianowicie dla każdego jednoelementowego podzbioru \(\displaystyle{ \{(a,b)\}}\) zbioru \(\displaystyle{ \Omega}\) kładziemy:

\(\displaystyle{ P(\{a,b\})=\left\{\begin{array}{ccc}\frac 1{36}&\mbox{gdy}&a=b\\\\\frac 2{36}&\mbox{gdy}&a<b\end{array}\right.}\)

następnie rozszerzamy definicję na dowolne podzbiory \(\displaystyle{ X\subseteq\Omega}\) wzorem:

\(\displaystyle{ P(X)=\sum_{x\in X}P(\{x\})}\).

Jak widać kosztem specjalizacji modelu jest utrata prostoty określenia funkcji prawdopodobieństwa.

Zauważ, że w tym modelu p-stwo uzyskania wyniku \(\displaystyle{ \left\{ 1, 2\right\}}\) także wynosi \(\displaystyle{ P(A)= \frac{2}{36}}\)

[leszczu450]

pyzol, mat_61, ok! Czyli powiedzcie mi jeszcze czy to model został dopasowany do rzeczywistości czy rzeczywistość do modelu? Czy może jedno i drugie idealnie współgrało?

Bo ja nadal - mówię poważnie, nie czuję tego, że przy rzucie dwiema monetami, wynik \(\displaystyle{ OR}\) wypadnie mi z p-stwem \(\displaystyle{ \frac12}\). Według mnie, patrząc na to tylko matematycznie- będzie to \(\displaystyle{ \frac13}\). Ale jak już wezme dwie monety w rękę to wszystko się psuje i mój model nie działa.

[mat_61]

pyzol, mat_61, ok! Czyli powiedzcie mi jeszcze czy to model został dopasowany do rzeczywistości czy rzeczywistość do modelu?

W którym przypadku? Trudno mi sobie wyobrazić dopasowanie rzeczywistego doświadczenia do modelu (chyba, że taka jest treść zadania). Jeżeli mamy opisane doświadczenie (a tak jest z reguły w zadaniach), to wówczas musimy dopasować do niego model. Uprawnione jest tworzenie modelu zakładając doświadczenie równoważne dla tego opisanego w zadaniu.

Bo ja nadal - mówię poważnie, nie czuję tego, że przy rzucie dwiema monetami, wynik \(\displaystyle{ OR}\) wypadnie mi z p-stwem \(\displaystyle{ \frac12}\). Według mnie, patrząc na to tylko matematycznie- będzie to \(\displaystyle{ \frac13}\). Ale jak już wezme dwie monety w rękę to wszystko się psuje i mój model nie działa.

Nie czujesz dlatego, że różnica pomiędzy \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) a \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\) nie jest odpowiednio duża. Zastanów się jak wygląda rzeczywiste doświadczenie. Widzisz rzut dwoma monetami. Ty ich fizycznie nie rozróżniasz, ale niewątpliwe są one dwie. Załóżmy, że różnią się np. temperaturą i oglądasz doświadczenie przez kamerę termowizyjną. Zauważysz wóczas, że ktoś kto obstawił \(\displaystyle{ \left\{ O, R\right\}}\) wygrywa zarówno wóczas gdy orzeł jest na monecie o wyższej temperaturze jak i wówczas gdy jest na monecie o niższej temperaturze, czyli w dwóch różnych przypadkach. Tym samym przyjęcie modelu w którym traktujemy wyniki \(\displaystyle{ \left\{O, R\right\}}\) oraz np. \(\displaystyle{ \left\{ O, O\right\}}\) jako jednakowo prawdopodobnych jest błędem bo nie odpowiada rzeczywistemu doświadczeniu.

[leszczu450]

mat_61, rozumiem : ) Dzięki za odpowiedź. Czyli wydaje mi się , że wszystkie moje problemy biorą się stąd, że ja zakładam, że monet, kostek nie mogę rozróżnić. A okazuje się, że zawsze mogę.

[Althorion]

Klasyczna definicja p-stwa wymaga bowiem tego, żeby wszystkie zdarzenia elementarne były jednakowo prawdopodobne.

Trudno uznać to za definicję, skoro przy próbie zdefiniowania prawdopodobieństwa mówi się o prawdopodobieństwie… Z tego co wiem, nie da się ukuć jakiejś łatwej i jednocześnie ścisłej definicji, trzeba co najmniej sięgnąć po aksjomatykę Kołmogorowa.

[leszczu450]

Althorion, hmm ale Kołmogorow to wcale jakoś dużo nie powiedział : P Co masz dokładnie na myśli?

[Althorion]

Mam na myśli to, że to co mat_61 nazywa „klasyczną definicją prawdopodobieństwa” nie może być według mnie uznawane za definicję, bo jest cykliczne — wymaga byś wiedział co to znaczy, że zdarzenia są „jednakowo prawdopodobne” by móc zdefiniować, czym w ogóle jest prawdopodobieństwo danego zdarzenia.

Niestety nie znam żadnej prostej i intuicyjnej definicji, która by działała. Najbardziej podstawową którą znam jest ta .

[Mefistocattus]

Kacperdev, a na chwilę wróćmy jeszcze do zbiorów. Jeśli rozpatrujemy dwuelementowe zbiory, to rzeczywiście jest ich \(\displaystyle{ 21}\).

Zdanie fałszywe. Jeśli rozpatrujemy dwuelementowe zbiory, to jest ich co najwyżej \(\displaystyle{ 15}\).

(I tak, wiem, że się czepiam i w zasadzie mógłbyś to przeformułować używając pojęcia wielozbioru, ale jakoś nie widzę w tej sytuacji zastosowania takiego modelu probabilistycznego…)

norwimaj, mówisz, że kostki muszą się czymś różnić. Że tak nie ma w prawdziwym świecie. I że musi być choć mała ryska różniąca kostki. Ale przecież to tylko model. Cała fizyka przecież bazuje na modelach. A matematyka w sumie w dużej części też. Punkt jako obiekt bez wymiaru i bez masy. Przecież logicznie myśląc to zawsze jak weźmiesz do ręki pisak i zrobisz kropkę to będzie miała ta kropka jakąś masę i jakiś wymiar.

Skoro już aż tak to przeanalizujesz, to potraktuj te kostki jako układy cząstek znajdujące się w określonych stanach kwantowych i podlegające zakazowi Pauliego…