Zbieżność jednostajna szeregu funkcyjnego

[Johny94]

Mam takie pytanie, bo do badania zbieżności jednostajnej szeregu funkcyjnego: \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} f_{n}}\) służy np. kryterium Weierstrassa czy Dirichleta, ale czy możemy zbadać zbieżność ciągu \(\displaystyle{ f_{n}}\) i gdy będzie on jednostajnie zbieżny, to zbieżny jednostajnie będzie nasz wyjściowy szereg?

[Spektralny]

Ciąg \(\displaystyle{ f_n(x) = 1}\) dla \(\displaystyle{ x\in [0,1]}\) i \(\displaystyle{ n\in \mathbb{N}}\) jest jednostajnie zbieżny do funkcji stale równej 1, bo jest stały. Szereg \(\displaystyle{ \textstyle \sum_{n=1}^\infty f_n}\) jest rozbieżny. Zbieżność jednostajna ciągu \(\displaystyle{ f_n}\) nie pociąga zbieżności jednostajnej ciągu \(\displaystyle{ f_1 + \ldots + f_n}\).

[Johny94]

No tak, zatem gdybym dorzucił dodatkowy warunek, że \(\displaystyle{ \lim_{ n\to\infty } f_n(x)=0}\) to już zachodzi to, co napisałem w pierwszym poście, wnioskuję to po tym temacie: 40216.htm

[a4karo]

to weż \(\displaystyle{ f_n(x)=1/n}\) i zobacz, co dostaniesz

[Johny94]

No faktycznie, czyli rozwiązanie z tamtego wątku jest nieprawidłowe.