Suma ciągu geometrycznego

[Samlor]

Jak się oblicza sumę takiego szeregu \(\displaystyle{ \frac{1}{5} \sum_{l=1}^{ \infty }\left( \frac{5}{6}\right) ^{2l}}\) ?

[leszczu450]

Samlor, wzór na sumę szeregu geometrycznego znamy?

\(\displaystyle{ \sum_{l=1}^{\infty} \left(\frac{5}{6}\right) ^{2l} = \sum_{l=1}^{\infty} \left(\frac{25}{36}\right) ^{l}= \frac{25}{36} + \left( \frac{25}{36}\right) ^{2} + \ldots}\)

Ile wynosi \(\displaystyle{ a_1}\) ? Ile wynosi \(\displaystyle{ q}\) ? Jak znajdziesz te dwie wartości i wstawisz do odpowiedniego wzoru to wszystko ładnie wyjdzie.

[Samlor]

\(\displaystyle{ a_{0} = 1}\)

\(\displaystyle{ q= \frac{25}{36}}\)

\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{ n }a _{n} = \frac{a_{0}\cdot(1-q )^{n+1} }{1-q}}\)

\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} S _{n} = \sum_{l=1}^{ n}\left( \frac{5}{6}\right) ^{2l}= \sum_{l=1}^{n} \left(\frac{25}{36}\right) ^{l}= \sum_{l=0}^{n}\left(\frac{25}{36}\right) ^{l+1}= \frac{25}{36}\sum_{l=0}^{n}\left(\frac{25}{36}\right) ^{l}= \frac{25}{36}\cdot \frac{1}{1- \frac{25}{36} }= \frac{25}{11}}\)

Czyli dana suma wynosi \(\displaystyle{ \frac{1}{5} \cdot \frac{25}{11}= \frac{5}{11}}\)

[leszczu450]

Samlor, skąd wziałeś \(\displaystyle{ a_0}\) ? Skoro szereg startuje od \(\displaystyle{ l=1}\) ?

[Samlor]

Samlor, skąd wziałeś \(\displaystyle{ a_0}\) ? Skoro szereg startuje od \(\displaystyle{ l=1}\) ?

Z tego, że szeregi\(\displaystyle{ \sum_{l=1}^{\infty} \left(\frac{25}{36}\right) ^{l}}\) oraz \(\displaystyle{ \sum_{l=0}^{\infty}\left(\frac{25}{36}\right) ^{l+1}}\) są sobie równoważne i dla drugiego z nich \(\displaystyle{ a _{0}= \frac{25}{36}}\)

[leszczu450]

Samlor, jest ok w takim razie : )