Wykaż nierówność

[Xeoxer]

Udowodnij, że jeżeli \(\displaystyle{ a,b,c>0}\) oraz \(\displaystyle{ a+b+c=1}\), to \(\displaystyle{ \frac{1}{a}+ \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \ge 9}\).

[Zahion]

Podstaw \(\displaystyle{ 1 = a+b+c}\). Dalej nierówność \(\displaystyle{ \frac{x}{y} + \frac{y}{x} \ge 2, x,y >0}\)
Add. 2
Można też szybciej ; Korzystając z nierówności prawdziwej dla dowolnych dodatnich liczb \(\displaystyle{ x, y, z}\) mamy, że\(\displaystyle{ \left( x+y+z \right) \left( \frac{1}{x}+ \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \right) \ge 9}\). Z twierdzenia o średnich masz automatycznie ową nierówność

[Xeoxer]

A da się jakoś bez średnich? Bo nie brałem tego.

[Premislav]

Przecież Zahion podał Ci też sposób bez użycia nierówności o średnich.

Podstaw \(\displaystyle{ 1 = a+b+c}\). Dalej nierówność\(\displaystyle{ \frac{x}{y} + \frac{y}{x} \ge 2, x,y >0}\)

Podstawiasz j.w. za jedynki do liczników, rozpisujesz i używasz wskazanej własności. W czym problem?

[Xeoxer]

Skąd się bierze ta nierówność? Szczególnie ta dwójka po prawej.

[Premislav]

Skoro \(\displaystyle{ x, y>0}\), to również \(\displaystyle{ xy>0}\), zatem możesz pomnożyć stronami przez \(\displaystyle{ xy}\), przerzucić wszystko na jedną stronę i zwinąć do \(\displaystyle{ (x-y) ^{2} \ge 0}\) (formalnie bez napomknięcia o równoważności przekształceń to nie dowód :>).

[Seth Briars]

\(\displaystyle{ \frac{1}{a}+ \frac{1}{b} + \frac{1}{c} - 9=\frac{a+b+c}{a}+\frac{a+b+c}{b}+\frac{a+b+c}{c}-9=\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right)-6=\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-2\right)+\left(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}-2\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}-2\right)=\\ \left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-2 \cdot \sqrt{\frac{a}{b} \cdot \frac{b}{a}}\right)+\left(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}-2\sqrt{\frac{a}{c} \cdot \frac{c}{a}}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}-2\sqrt{\frac{b}{c} \cdot \frac{c}{b}}\right)=\left(\sqrt{\frac{a}{b}}-\sqrt{\frac{b}{a}} \right)^2+\left(\sqrt{\frac{a}{c}}-\sqrt{\frac{c}{a}} \right)^2+\left(\sqrt{\frac{b}{c}}-\sqrt{\frac{c}{b}} \right)^2 \ge 0}\)

[Xeoxer]

I weź tu wpadnij na takie coś... dzięki, teraz rozumiem.