Błąd w przekształceniu

[Johny94]

Witam, mam pomnożyć dwa szeregi przez siebie i w trakcie przekształceń popełniam jakiś błąd, mógłby ktoś podpowiedzieć, w którym miejscu:

\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n} \cdot \frac{x^{2n}}{(2n)!} \cdot \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n} \cdot \frac{x^{2n}}{(2n)!} = \sum_{n=0}^{\infty}(\sum_{k=0}^{n} (-1)^{k} \cdot \frac{x^{2k}}{(2k)!} \cdot (-1)^{n-k} \cdot \frac{x^{2n-2k}}{(2n-2k)!} = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n} \cdot \frac{x^{2n}}{(2n)!} \cdot \sum_{k=0}^{n} {2n\choose 2k} = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n} \cdot \frac{x^{2n}}{(2n)!} \cdot 2^{2n-1}}\)

Problem w tym, że gdy chcę rozwinąć początkowy iloczyn, to po podstawieniu za \(\displaystyle{ n=0}\) pierwszym wyrazem jest \(\displaystyle{ 1}\), co jest prawdą, a gdy podstawię \(\displaystyle{ n=0}\) w ostatecznym wyniku, to mój pierwszy wyraz jest równy \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\)

[JakimPL]

Wzór \(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} {2n \choose 2k}=2^{2n-1}}\) "nie działa" dla \(\displaystyle{ n=0}\). Poza tym wszystkie współczynniki się zgadzają.

[Johny94]

Dzieki bardzo za odpowiedź, ale to jak w takim razie z tego wybrnąć, nie mogę przecież tak tego pierwszego wyrazu szeregu ominąć, potrzebują jakoś zrobić żeby był on jedynką, bo wtedy gdy wszystkie wyrazy otrzymanego wyrazu dodam do wszystkich wyrazow innego szeregu, ktory jest iloczynem dwoch szeregow, przedstawiajacych kolejne wyrazy rozwiniecia szeregu Taylora dla sinusa, to otrzymam upragnioną jedynkę trygonometryczną, może jakieś rady na to.

[JakimPL]

Dlaczego nie możesz? Możesz rozdzielić liczenie współczynników na \(\displaystyle{ n=0}\) i \(\displaystyle{ n>0}\), po czym na końcu dodać to, co wyszło.

[Johny94]

No ok, ja bym więc rozwiązał to tak, że wziął nasz szereg:
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n} \cdot \frac{x^{2n}}{(2n)!} \cdot 2^{2n-1}}\)

i rozwijał go po kolei po elementach, ale oprócz elementu pierwszego czyli od \(\displaystyle{ n=1}\) wtedy ta suma przedstawia się:
\(\displaystyle{ \frac{-2 x^{2}}{2!} + \frac{2^{3} x^{4}}{4!} - ...}\) i teraz komentarz, że pierwszym elementem jest 1, bo dla \(\displaystyle{ n=0}\): \(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} {2n \choose 2k}}\) jest równa 1.

[JakimPL]

Nie do końca dobrze zapisane. Jeżeli już to:

\(\displaystyle{ 1+\sum_{{\red n=1}}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}2^{2n-1}}\)

Nie rozwijasz już tego, co otrzymałeś, tylko uzasadniasz stosowanie wzoru, o którym mówiłem (zresztą, byłoby dziwne, gdyby ten szereg po ponownym rozwinięciu zmienił swoją postać).

[Johny94]

Poradziłem sobie ze wszystkim tym, czym chciałem, jeszcze raz dzięki wielkie.