czy odwzorowanie musi być ciągłe?

[Jacek_fizyk]

Wiemy, ze jeśli funkcja \(\displaystyle{ f:K\subseteq A\rightarrow f(K)\subseteq \mathbb{R}}\) jest ciągła, a \(\displaystyle{ K}\) jest zbiorem zwartym to \(\displaystyle{ f(K)}\) tez jest zbiorem zwartym. Czy twierdzenie odwrotne jest prawdziwe? Jeśli obraz zwartego zbioru jest zbiorem zwartym to czy \(\displaystyle{ f}\) jest funkcją ciągłą?

dzieki

[fon_nojman]

Co powiesz o takiej funkcji \(\displaystyle{ f:[0,1]\to \{0,1\}}\) danej wzorem

\(\displaystyle{ f(x)= egin{cases} 0 dla xin [0,1) \ 1 dla x=1 end{cases}}\)

[Jacek_fizyk]

Dzieki, rzeczywiście dobry przykład.
\(\displaystyle{ [0,1]}\) jest zwarty i jego obraz \(\displaystyle{ \{0,1\}}\) też jest zwarty ale funkcja nie jest ciągła w $1$.