Metoda przewidywan

[jaranna]

Mam dwa równania różniczkowe:
\(\displaystyle{ y''''-6y'''+10y''=\sin 2x \\ y''''+y'' = \sin x}\)
dlaczego wykorzystujac metode przewidywań zgadywane rozwiązania wygladaja odpowiednio:
\(\displaystyle{ y_{1}= A \sin 2x + B \cos 2x \\ y_{2}= ( A \sin x + B \cos x )x}\)
dlaczego w rozwiązaniu dla drugiego równania mnożymy przez x? Proszę o pomoc

[bartek118]

Ponieważ po prawej stronie równania występuje \(\displaystyle{ \sin}\)

[jaranna]

Nie rozumiem, przecież w obydwu równaniach po prawej stronie występuje \(\displaystyle{ \sin}\)?

[kerajs]

Mam dwa równania różniczkowe:
\(\displaystyle{ y''''-6y'''+10y''=\sin 2x \\ y''''+y'' = \sin x}\)
dlaczego wykorzystujac metode przewidywań zgadywane rozwiązania wygladaja odpowiednio:
\(\displaystyle{ y_{1}= A \sin 2x + B \cos 2x \\ y_{2}= ( A \sin x + B \cos x )x}\)
dlaczego w rozwiązaniu dla drugiego równania mnożymy przez x? Proszę o pomoc

Metoda przewidywania służy do znalezienia całki szczególnej (jednej konkretnej funkcji) równania niejednorodnego. Jednak przy przewidywaniu trzeba brać pod uwagą rozwiązania ogólne równania jednorodnego (uproszczonego)

W równaniu \(\displaystyle{ y''''-6y'''+10y''=\sin 2x}\)
rozwiązaniem równania uproszczonego
\(\displaystyle{ y''''-6y'''+10y''=0}\)
jest:
\(\displaystyle{ y _{ogolne} =C _{1} +C _{2}x+e ^{3x}\left( C _{3}\sin x+C _{4}cos x\right)}\)
Twoje przewidywanie dla równania niejednorodnego to:
\(\displaystyle{ y _{szczegolne}= A \sin 2x + B \cos 2x}\)
Teraz SPRAWDZASZ czy elementy przewidywanej całki szczególnej występują w rozwiązaniu ogólnym. Jeśli nie występują , a tak jest w tym przykładzie, to liczysz pochodne i obliczasz wartości A,B....

Jeśli rozwiązanie przewidywane pokrywa się z ogólnym to masz tzw . sprzężenie (wzmocnienie) i musisz swoje przewidywanie pomnożyć przez x. Jeśli i to pomnożone występuje w r. ogólnym to mnożysz przez kolejny x, itd.
U ciebie rozwiązanie ogólne równania:
\(\displaystyle{ y''''+y'' = \sin x}\)
to
\(\displaystyle{ y _{ogolne} =C _{1} +C _{2}x+ C _{3}\sin x+C _{4}cos x}\)

Twoje przewidywanie : \(\displaystyle{ A \sin x + B \cos x}\) już występuje w całce ogólnej. Musisz swoje przewidywanie ,,wzmocnić" na :
\(\displaystyle{ y_{szczegolne}= ( A \sin x + B \cos x )x}\)
które już w ogólnym nie występuje.

Zresztą zauważ, że rozwiązanie typu \(\displaystyle{ A \sin x + B \cos x}\) zostałoby wchłonięte przez ten fragment rozwiązania ogólnego \(\displaystyle{ C _{3}\sin x+C _{4}cos x}\), wiec po co je liczyć.

Pozdrawiam.