zbieżność oraz zbieżność bezwzględna

[S1nner]

Witam,
poproszę o rozwiązanie poniższych przykładów:

Zbadać zbieżność oraz zbieżność bezwzględną szeregów:

1.
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{-2n}{3n+5} \right)^n}\)

2.
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{ \left(-2\right)^n}{3^n+1}}\)


Pozdrawiam!

[chris_f]

Np. dla drugiego - badamy zbieżność bezwzględną.
\(\displaystyle{ \sum\limits_{n=0}^\infty\frac{2^n}{3^n+1}}\)
Mamy zatem \(\displaystyle{ a_n=\frac{2^n}{3^n+1},\ a_{n+1}=\frac{2^{n+1}}{3^{n+1}+1}}\)
Obliczamy
\(\displaystyle{ \frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{\frac{2^{n+1}}{3^{n+1}+1}}{\frac{2^n}{3^n+1}}=
\frac{2\cdot2^n(3^n+1)}{(3\cdot3^n+1)\cdot2^n}=
\frac{2\cdot3^n+2}{3\cdot3^n+3}\mathop{\longrightarrow}_{n \to \infty}\frac23<1}\)

[S1nner]

Np. dla drugiego - badamy zbieżność bezwzględną.
\(\displaystyle{ \sum\limits_{n=0}^\infty\frac{2^n}{3^n+1}}\)
Mamy zatem \(\displaystyle{ a_n=\frac{2^n}{3^n+1},\ a_{n+1}=\frac{2^{n+1}}{3^{n+1}+1}}\)
Obliczamy
\(\displaystyle{ \frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{\frac{2^{n+1}}{3^{n+1}+1}}{\frac{2^n}{3^n+1}}=
\frac{2\cdot2^n(3^n+1)}{(3\cdot3^n+1)\cdot2^n}=
\frac{2\cdot3^n+2}{3\cdot3^n+3}\mathop{\longrightarrow}_{n \to \infty}\frac23<1}\)

Wydaje mi się, że nie możemy użyć tej metody, ze względu na ujemny wyraz.

Dziękuje za odpowiedź!

[chris_f]

Na PW chyba wyjaśniłem, o co mi chodziło.