Całka nieoznaczona z tangensem w mianowniku

[Dyzioo]

Cześć, potrzebuję pomocy w policzeniu takiej całki: \(\displaystyle{ \int \frac{dx}{1+\tg x}}\)

Próbowałem zamienić \(\displaystyle{ \tg x= \frac{\sin x}{\cos x}}\) a następnie użyć ogólnego podstawienia \(\displaystyle{ t=\tg \frac{x}{2}}\) ale chyba nie jest to najlepsza droga rozwiązania. Jakieś inne pomysły?

[chris_f]

Podstawienie \(\displaystyle{ \tan x=t}\) daje \(\displaystyle{ x=\arctan t}\) skąd \(\displaystyle{ dx=\frac{dt}{1+t^2}}\) i całka przyjmie postać
\(\displaystyle{ \int\frac{dt}{(1+t)(1+t^2)}}\)
Rozkład na ułamki proste i gotowe.

[Dyzioo]

Żeby nie zaśmiecać forum nowym tematem: utknąłem na jeszcze jednej całce, którą w ogóle nie wiem jak ugryźć:

\(\displaystyle{ \int \frac{xdx}{ \sqrt{x-2} + \sqrt{x-3} }}\)

[Premislav]

Proponuję pomnożyć licznik i mianownik przez \(\displaystyle{ \sqrt{x-2}- \sqrt{x-3}}\). Dostaniesz chyba coś, co można rozbić na sumę dwóch łatwych całek, które policzysz np. podstawiając za pierwiastki.

[Dyzioo]

Jeszcze jedną wskazówkę potrzebuje, do takiej całki:

\(\displaystyle{ \int \frac{1}{x^{2} } \sqrt{ \frac{1+x}{x} }dx}\)

Próbowałem "wsadzić" ten ułamek pod pierwiastek, ale dostałem w mianowniku \(\displaystyle{ x^{5}}\) i nie potrafię sobie z tym poradzić...

EDIT:

okej, dałem sobie radę, dla ciekawych, wystarczyło podstawienie: \(\displaystyle{ t= \frac{1+x}{x}}\)