Wykaż, że liczba jest podzielna przez 5

[Tula]

Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej k liczba \(\displaystyle{ k\left( k+1\right) \left( k+9\right) \left( k ^{2} +1\right)}\) jest podzielna przez 5.

Wiem, że istnieją jakieś sposoby związane z indukcją, ale my tego w programie w ogóle nie mieliśmy, przy podzielności wszystko robiliśmy na zasadzie wyłączenia przed nawias liczby podzielnej przez 5. Doprowadziłam to do postaci \(\displaystyle{ k ^{5}+ 10k ^{4} + 10k ^{3} + 10k ^{2} + 9k}\) i nie wiem co dalej z tym zrobić.

[Zahion]

\(\displaystyle{ k ^{5}+ 10k ^{4} + 10k ^{3} + 10k ^{2} + 9k = 10(k^{4}+k^{3}+k^{2}) + k^{5} + 9k}\)
Musisz udowodnić teraz, że dla każdego \(\displaystyle{ k}\) całkowitego liczba \(\displaystyle{ k^{5} +9k}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ 5}\)

[Pinionrzek]

Zauważ, że \(\displaystyle{ k ^{5} \equiv k \pmod{5}}\).

[Tula]

A jak się zabrać do udowodnienia, że \(\displaystyle{ k ^{5} + 9k}\) jest podzielne przez \(\displaystyle{ 5}\)?

[Zahion]

Szkolnym sposobem byłoby takie przekształcenie (na dość wyższym poziomie) :
\(\displaystyle{ k^{5} + 9k=k(k^{4}+9)=k((k^{4}-5k^{2}+4) +5k^{2}+5)=k(k^{4}-5k^{2}+4) + k(5k^{2}+5)=
(k-2)(k-1)k(k+1)(k+2) + 5k(k^{2}+1)}\)
Mamy tutaj sumę dwóch kolejnych liczb podzielnych przez \(\displaystyle{ 5}\) więc też suma liczba jest podzielna przez \(\displaystyle{ 5}\)