Twierdzenie - Mnożniki Lagrange'a

[leszczu450]

Założenia:

\(\displaystyle{ \mathcal{O} \subset \RR^n}\) , gdzie \(\displaystyle{ \mathcal{O}}\) jest otwarty,

\(\displaystyle{ g : \mathcal{O} \to \RR^k}\)

\(\displaystyle{ g \in C^1}\)

\(\displaystyle{ \forall_{x \in \mathcal{O}} \ g(x)=0 \Rightarrow rz Dg(x)=k}\)

Teza:

Wówczas:

Jeżeli funkcja \(\displaystyle{ f : \mathcal{O} \to \RR}\) jest różniczkowalna oraz ma w punkcie \(\displaystyle{ x_0 \in M=\left\{ x \in \mathcal{O} : g(x)=0\right\}}\) ekstremum lokalne związane na zbiorze \(\displaystyle{ M}\), to istnieje taka forma liniowa \(\displaystyle{ \Lambda}\) określona na \(\displaystyle{ \RR^k}\), że \(\displaystyle{ x_0}\) jest punktem stacjonarnym funkcji :


\(\displaystyle{ w=f - \Lambda \circ g}\) (tzw. funkcja Lagrange'a)

tzn. \(\displaystyle{ Dw(x_0)=0}\)


Dowód:

Ponieważ: \(\displaystyle{ Dw(x_0)= Df(x_0) - \Lambda \circ Dg(x_0)}\), więc oznaczając \(\displaystyle{ A= Dg(x_0) , B=Df(x_0)}\), należy dowieść istnienia takiej formy liniowej \(\displaystyle{ \Lambda \in \RR^k}\), że \(\displaystyle{ \Lambda \circ A=B}\), czyli:


\(\displaystyle{ \Lambda(Ah)=Bh , \quad h \in \RR^n}\).


Powyższy wzór chcemy przyjąć za definicję funkcji \(\displaystyle{ \Lambda}\), tzn jeśli \(\displaystyle{ y=Ah}\), gdzie \(\displaystyle{ h \in \RR^n}\), to kładziemy \(\displaystyle{ \Lambda y= Bh}\). Dla poprawności tej definicji należy wykazać, że jeśli \(\displaystyle{ Ah=Ah' (h, h' \in \RR^n)}\), to \(\displaystyle{ Bh=Bh'}\) . Co jest równoważne implikacji \(\displaystyle{ Ah=0 \Rightarrow Bh=0}\), zatem równoważnie inkluzji \(\displaystyle{ \ker A \subset \ker B}\), czyli inkluzji:

\(\displaystyle{ T_{x_0}M \subset \ker B}\).\(\displaystyle{ (*)}\)

Niech \(\displaystyle{ \left( \varphi, \Delta \right)}\) będzie mapą rozmaitości \(\displaystyle{ M}\) , obejmującą punkt \(\displaystyle{ x_0}\). To znaczy \(\displaystyle{ x_0= \varphi(t_0) (t_0 \in \Delta \subset \RR^l , l=n-k )}\). Założmy, że funkcja \(\displaystyle{ f_{|M}}\) przyjmuje w punkcie \(\displaystyle{ x_0}\) np. maksimum lokalne. Istnieje więc otoczenie \(\displaystyle{ U}\) punktu \(\displaystyle{ x_0}\), że \(\displaystyle{ f(x) \le f(x_0)}\) dla każdego \(\displaystyle{ x \in U \cap M}\). Z ciągłości odwzorowania \(\displaystyle{ \varphi}\) wynika istnieje takiego otoczenia \(\displaystyle{ V \subset \Delta}\) punktu \(\displaystyle{ t_0}\), że \(\displaystyle{ \varphi(V) \subset U}\). Mamy więc \(\displaystyle{ f(\varphi(t)) \le f(\varphi(t_0))}\) dla \(\displaystyle{ t \in V}\), co oznacza, że funkcja \(\displaystyle{ f \circ \varphi}\) przyjmuje w punkcie \(\displaystyle{ t_0}\) maksimum lokalne. Na mocy twierdzenia(warunek koniczny ekstremum lokalnego) mamy \(\displaystyle{ D(f \circ \varphi)(t_0)=0}\), czyli \(\displaystyle{ B\circ D\varphi(t_0)=0}\), czyli \(\displaystyle{ B\left( D\varphi(t_0)q\right)=0}\) dla każdego \(\displaystyle{ q \in \RR^l}\), czyli \(\displaystyle{ Bs=0}\) dla każdego \(\displaystyle{ s \in T_{x_0}M}\), co kończy dowód inkluzji \(\displaystyle{ (*)}\) . Ponieważ \(\displaystyle{ rz A=k}\), czyli \(\displaystyle{ A\RR^n=\RR^k}\), więc wzór \(\displaystyle{ \Lambda(Ah)=Bh , \quad h \in \RR^n}\) definiuje funkcję \(\displaystyle{ \Lambda}\) na całej przestrzeni \(\displaystyle{ \RR^k}\).

\(\displaystyle{ \square}\)

Sformułujemy jeszczę tezę tego twierdzenia w innej postaci, nadającej się do rozwiązywania zadań. Ponieważ każda forma liniowa \(\displaystyle{ \Lambda}\) na \(\displaystyle{ \RR^k}\) jest postaci :

\(\displaystyle{ \Lambda y = \sum_{j=1}^{k} \lambda_j y_j}\), gdzie \(\displaystyle{ y=(y_1, \ldots , y_k) \in \RR^k}\) oraz \(\displaystyle{ \lambda_1 , \ldots \lambda_k \in \RR}\), więc teza twierdzenia orzeka istnieje liczb rzeczywistych \(\displaystyle{ \lambda_1 , \ldots \lambda_k}\) takich, że \(\displaystyle{ x_0}\) jest punktem stacjonarnym funkcji:

\(\displaystyle{ w=f - \sum_{j=1}^{k} \lambda_j g_j}\) ,

czyli

\(\displaystyle{ Df(x)= \sum_{j=1}^{k} \lambda_j Dg_j(x)}\)

Źródło:
Analiza matematyczna, funkcje wielu zmiennych Andrzeja Birkholca.

[Spektralny]

Skąd się wzięła ta dziwna moda by twierdzenia zapisywać w taki sposób: założenia i lista znaczków, a później teza? Mamy przecież taki piękny język polski.

Zwrot "ekstremum lokalne związane na zbiorze" możnaby doprecyzować. Ogólniejsza wersja tego twierdzenia (twierdzenie Lusternika) w przypadku nieskończenie wymiarowym znajduję się w książce Maurina "Analiza I".

[leszczu450]

Spektralny, wiem. Nasz język jest piękny i bogaty. Ale nie sądzisz, że takie przedstawienie jest pięknie czytelne i wiadomo od razu co chce dowieść, co mam założone etc. ? Przecież to o jasnośc przekazu w dowodzie chodzi, a nie o bogate słownictwo. Czyż nie?

[luka52]

Ale nie sądzisz, że takie przedstawienie jest pięknie czytelne i wiadomo od razu co chce dowieść, co mam założone etc. ?

Wtrącają się to ja osobiście tak nie sądze - takie wylistowanie szybko mi umyka, a jak jest ubrane w ładne zdanie, to czyta się naturalnie.

[leszczu450]

luka52, a ja podtrzymuje moje zdanie : ) Nie wiem jak to rozwiążemy w takim razie. Może skoncentrujemy sie na matematyce hm? : )