Dowody z ułamkami algebraicznymi

[Tula]

1) Wykaż, że jeśli \(\displaystyle{ a, b, c, x, y, z}\) są różne od \(\displaystyle{ 0}\) i \(\displaystyle{ \frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1}\) i \(\displaystyle{ \frac{a}{x} + \frac{b}{y} + \frac{c}{z} = 0}\), to \(\displaystyle{ \frac{x ^{2} }{a ^{2} } + \frac{y ^{2} }{b ^{2} } + \frac{z ^{2} }{c ^{2} } = 1}\).

2) Wykaż, że jeśli \(\displaystyle{ a \neq 0}\), to \(\displaystyle{ a ^{4} + \frac{128}{a ^{2} } \ge 48}\)

W pierwszym korzystając z założenia podniosłam pierwsze do kwadratu stosując wzór skróconego mnożenia, ale nie miałam pomysłu na to jak użyć drugiego, więc na tym stanęłam. A w tym drugim próbowałam z jakimś podstawieniem, ale to był chyba nietrafiony pomysł, a nic innego nie przychodzi mi do głowy.

[Kacperdev]

2) \(\displaystyle{ t=a^{2}}\)

[Tula]

Tak robiłam i doszłam do postaci \(\displaystyle{ \left( t-4\right) ^{2} (t+8) \ge 0}\), tylko to \(\displaystyle{ -8}\) musi przecież odpaść, bo \(\displaystyle{ t>0}\) i tu się gubię, bo z nierówności trzeciego stopnia nagle mam drugiego bez tego.

[matematyk1995]

W drugim:
\(\displaystyle{ a ^{4} + \frac{128}{a ^{2} } \ge 48 \Leftrightarrow a^ {6} - 46a^{2} + 128 \ge 0 \Leftrightarrow (a-2)^2(a+2)^2(a^2+8) \ge 0}\)

[jarek4700]

Niech \(\displaystyle{ \frac{x}{a} = d}\)
\(\displaystyle{ \frac{y}{b} = e}\)
\(\displaystyle{ \frac{z}{c} = f}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{d} + \frac{1}{e} + \frac{1}{f} = \frac{de+ef+df}{d e f}}\)

Wykorzystaj to do drugiej zależności z której to widać że sumy podwojonych iloczynów się zerują.
Oblicz kwadrat pierwszego wyrażenia i porównaj z trzecim.