Rozwijam funkcje w szeregi i napotkałem na problem.
W podręczniku Fichtenholza napisane jest, że \(\displaystyle{ x^{2}}\)jest tego samego rzędu co \(\displaystyle{ 1- \cos x}\) Mógłby mi ktoś wyjaśnić, jak oceniać ten rząd ?
A tak przy okazji, mam do rozwinięcia w szereg funkcję: \(\displaystyle{ \ln \frac{\sin x}{x}}\) do wyrazu \(\displaystyle{ x^6}\) włącznie.
Robię tak:
rozwijam najpierw \(\displaystyle{ \frac{\sin x}{x} = 1 - \frac{x^2}{3} + \frac{x^4}{24} - \frac{x^6}{5040} + o(x^{6})}\)
\(\displaystyle{ \ln (x+1) = x- \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + o(x^3)}\)
Teraz:
\(\displaystyle{ \ln (1+ (\frac{\sin x}{x}-1) = ...}\)
I tu nie wiem co podstawić, próbuję wstawiać tak, żeby najwyższa potęga była 6, ale wynik nie wychodzi poprawny. Wygodniej jest rozwinąć \(\displaystyle{ \ln}\) do 6 wyrazu, czy tak jak zacząłem, lepiej będzie rozpisać \(\displaystyle{ \frac{\sin x}{x}}\)?? Teoretycznie taki rozkład jest jednoznaczny, więc gdybym nie mylił się w rachunkach, to czy zacznę tak czy tak, wynik powinien wyjść ten sam.
Zadanie z Demidowicza, nr 1387.
