Prawdziwość implikacji

[m7s1994]

Witam!

Nie do końca wiem jak należy rozumieć zdanie że jakaś implikacja jest prawdziwa.

Czy to oznacza że jest ona tautologią?

Np. "Jeśli prawdziwa jest implikacja \(\displaystyle{ p \Rightarrow q}\) oraz \(\displaystyle{ p}\), to \(\displaystyle{ q}\) również jest prawdziwe" - to mówi nam reguła odrywania.
Ale co w zasadzie oznacza sformułowanie że implikacja jest prawdziwa? Czy chodzi o to że jest zawsze prawdziwa czyli jest tautologią?

[yorgin]

Ale co w zasadzie oznacza sformułowanie że implikacja jest prawdziwa? Czy chodzi o to że jest zawsze prawdziwa czyli jest tautologią?

A czy implikacja jest prawdziwa, gdy jej poprzednik jest prawdziwy, a następnik fałszywy?

[m7s1994]

No właśnie wtedy nie jest prawdziwa i dlatego nie do końca rozumiem to zdanie że implikacja jest prawdziwa.
Co znaczy że jest prawdziwa?

Wiem że implikacja jest prawdziwa zawsze za wyjątkiem sytuacji kiedy z prawdy wynika fałsz, ale co oznacza takie ogólne stwierdzenie że jest prawdziwa?

[leszczu450]

Wiem że implikacja jest prawdziwa zawsze za wyjątkiem sytuacji kiedy z prawdy wynika fałsz, ale co oznacza takie ogólne stwierdzenie że jest prawdziwa?

Oznacza pozostałe przypadki. Nie ma tu żadnej filozofii.

[m7s1994]

Okej, czyli np. jeśli weźmiemy taką implikację:
- jeśli \(\displaystyle{ n}\) jest podzielne przez \(\displaystyle{ 4}\) to \(\displaystyle{ n}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ 2}\).
To ta implikacja jest prawdziwa, ponieważ nie ma takiej sytuacji żeby z prawdy wynikał fałsz,
ale jeśli weźmiemy taką implikację:
-jeśli \(\displaystyle{ n}\) jest podzielne przez \(\displaystyle{ 16}\) to \(\displaystyle{ n}\) jest podzielne przez \(\displaystyle{ 64}\),
to ta implikacja nie będzie ogólnie prawdziwa mimo tego że np. dla dowolnej liczby nieparzystej jest prawdziwa bo z fałszu wynika fałsz, ale istnieje sytuacja w której z prawdy wynika fałsz, np. dla \(\displaystyle{ n=32}\), więc ogólnie rzecz biorąc nie jest to implikacja prawdziwa?

Dobrze to rozumuje?

[Kartezjusz]

Moim zdaniem tak. Implikacja jest po prostu funkcją która dwóch liczb zero-jedynkowych przyporządkowuje trzecią taką liczbę. Zdanie jest prawdziwe, jeśli mamy jedynkę. Wartości logiczne w takich wypadkach wynikają z definicji.

[m7s1994]

Czyli generalnie rzecz biorąc jeśli mamy coś przedstawione przez implikację i jest powiedziane że ona jest prawdziwa to trzeba to interpretować w taki sposób że jest ona zawsze prawdziwa i nie jest możliwe aby powstała taka sytuacja że poprzednik jest prawdziwy a następnik fałszywy(tak jak w 1 przykładzie w poprzednim poście), tak?


Bo jeśli weźmiemy np. implikację 'Jeśli jutro będzie padał deszcz to będę spał do południa' to nie jesteśmy w stanie stwierdzić prawdziwości tej implikacji do póki nie dowiemy się czy padało oraz czy spałem do południa, ale mając implikację:
- jeśli \(\displaystyle{ n}\) jest podzielne przez \(\displaystyle{ 4}\) to \(\displaystyle{ n}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ 2}\),
możemy od razu stwierdzić że to jest prawda, bo nie da się stworzyć sytuacji kiedy z prawdy wyniknie fałsz.
Dobrze rozumiem?

[Jan Kraszewski]

Moim zdaniem tak. Implikacja jest po prostu funkcją która dwóch liczb zero-jedynkowych przyporządkowuje trzecią taką liczbę. Zdanie jest prawdziwe, jeśli mamy jedynkę. Wartości logiczne w takich wypadkach wynikają z definicji.

Funkcją to ona na pewno nie jest.

Polecam lekturę tego postu: 359698.htm#p5210828
Jest tam rozważana sytuacja równoważności, a nie implikacji, ale jak stanowi ostatnie zdanie "Podobna różnica jest między spójnikiem implikacji i wynikaniem zdań (formuł)".

JK

[krl]

@m7s1994: Zadajesz wiele pytań. Po pierwsze: co to jest implikacja? To zależy. W podstawowym sensie implikacja to zdanie złożone ze zdań prostszych przy pomocy spójnika implikacji. Przez implikację rozumiemy również funkcję zdaniową złożoną z prostszych funkcji zdaniowych przy pomocy tegoż spójnika. W przypadku implikacji - zdania: zdanie takie jest prawdziwe, gdy jest zgodne z rzeczywistością. W przypadku implikacji - funkcji zdaniowej: nie przypisujemy jej wartości logicznej.
Twierdzenia matematyczne też mają postać implikacji (funkcji zdaniowej). W tym przypadku twierdzenie uznajemy za prawdziwe, gdy w każdym przypadku, gdy zachodzą założenia, prawdziwa jest też teza.
Przez implikację możemy też rozumieć formułę zdaniową, złożoną z prostszych formuł zdaniowych przy pomocy spójnika implikacji. Wtedy nie przypisujemy jej wartości logicznej. Niektóre takie formuły są tautologiami (ale nie wszystkie).
No i implikacja to nie to samo, co wynikanie. Formuła zdaniowa to nie zdanie. Tautologia (rachunku zdań) to nie jest "zdanie zawsze prawdziwe" (bo to nie jest w ogóle zdanie). Reguła odrywania mówi coś innego, niż Ty napisałeś.

[m7s1994]

krl, dzieki wielkie za pomoc i przedstawienie roznych aspektow implikacji, teraz o wiele jasniej to widze. Niestety wiedza ktora zdobylem na wykladzie nie pozwolila mi na zbyt wiele.

pozdrawiam