Równanie różniczkowe (z podstawieniem)

[robeekk]

Witam, mam problem z następującym równaniem różniczkowym:
\(\displaystyle{ (y+x)^2 \frac{dy}{dx}-2y=0}\)
Podstawiam \(\displaystyle{ x+y=u}\), dochodzę do postaci \(\displaystyle{ \frac{du}{dx}= \frac{u^2+2u-2x}{u^2}}\), ale po późniejszych przekształceniach z tego co wiem nie mogę scałkować np. \(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{2}{u(x)} dx}\), więc proszę o pomoc albo o podanie innego sposobu!

[leszczu450]

robeekk, na pewno jest \(\displaystyle{ \frac{dx}{dy}}\)? Nie na odwrót?

[robeekk]

Na odwrót przepraszam za pomyłkę

[leszczu450]

A ta druga potęga tez na pewno tam jest? Bo mam przed sobą identyczny przykład tyle, że bez potęgi : )

[robeekk]

Potęga tym razem jest na pewno, ale możliwe że jest błąd w zestawie, mógłbyś podać gdzie mogę znaleźć ten przykład bez potęgi?

[leszczu450]

robeekk, \(\displaystyle{ (x+y) \frac{dy}{dx} -2y=0}\) to przykład z drugieego tomu zbioru zadań Krysickiego i Włodarskiego. Co do Twojego zadania- na pewno da się to zrobić. To my po prostu jesteśmy za słabi

[Mariusz M]

\(\displaystyle{ (y+x)^2 \frac{dy}{dx}-2y=0}\)

Jeżeli przyjmiemy \(\displaystyle{ y}\) jako zmienną niezależną to dostaniemy równanie Riccatiego
Podstawieniem sprowadzamy do równania liniowego drugiego rzędu
(niestety nie o stałych współczynnikach) a następnie całkujemy szeregami

To równanie niedawno było na forum

351762.htm

leszczu450, kiedy się dowiesz jak całkować równania szeregami
(konkretnie obliczać wyrazy tego szeregu z zależności rekurencyjnej)
to rozwiążemy te równanie
Obliczeń trochę będzie bo nie znamy całki szczególnej tego równania

\(\displaystyle{ \begin{cases} c_{1}=0 \\ c_{n+2}= \frac{\left( n+1\right)c_{n+1}- \frac{1}{4}c_{n} }{\left( n+2\right)^2 } \end{cases}\\}\)

\(\displaystyle{ c_{0}}\) jest stałą dowolną

Umiałbyś takie równanie rozwiązać ?

Równanie \(\displaystyle{ (y+x)^2 \frac{dy}{dx}-2y=0}\)
przekształcasz do postaci \(\displaystyle{ \frac{ \mbox{d}x }{ \mbox{d}y}=p\left( y\right)x^2+q\left( y\right) x+r\left( y\right)}\)

Stosujesz podstawienie aby sprowadzić równanie do równania liniowego drugiego rzędu

W podstawieniu jest logarytmiczna pochodna nowej zmiennej
pomnożona przez odwrotność współczynnika przy \(\displaystyle{ x^2}\) z przeciwnym znakiem