Wyznaczyć objętość bryły opisanej powierzchniami

[tyrdax]

Wyznaczyć objętość bryły opisanej powierzchniami:
\(\displaystyle{ z=2-x^2-y^2}\)
\(\displaystyle{ z=1}\)

Pozdrawiam

[Yaco_89]

Musisz znaleźć obszar całkowania. Po przyrównaniu obydwu równań stronami wychodzi, że jest to okrąg \(\displaystyle{ x^2+y^2=1}\), oznaczmy go D. Teraz korzystasz ze wzory na objętość bryły ograniczonej dwoma powierzchniami, i otrzymujesz całkę podwójną:
\(\displaystyle{ S=\iint _{D}(1-x ^{2}-y ^{2})dxdy}\)
którą łatwo policzysz przechodząc na współrzędne biegunowe.

[tyrdax]

Właśnie mialem problem z wsporzednymi biegunowymi

[Yaco_89]

\(\displaystyle{ x=r\cos\phi \\
y=r\sin\phi}\)
jakobian przejścia na współrzędne biegunowe wynosi r, ostatecznie dostajemy całkę
\(\displaystyle{ \int_{0}^{2\pi}d\phi \int_{0}^{1}(1-r ^{2}\cos ^{2}\phi-r ^{2}\sin ^{2}\phi)rdr}\)
co po skorzystaniu z jedynki trygonometrycznej daje postać
\(\displaystyle{ \int_{0}^{2\pi}d\phi \int_{0}^{1}(1-r ^{2})rdr}\)
a dalej idzie łatwo.