Kryterium porównawcze

[Samlor]

Zbadaj zbieżność całki, korzystając tym razem z kryterium porównawczego:
\(\displaystyle{ \int_{1}^{ \infty } \frac{x(x+1)}{x ^{4}+x+1 } dx}\)


Dla kryterium ilorazowego wygląda to tak:

\(\displaystyle{ f(x)=\frac{x(x+1)}{x^{4}+x+1}}\) ~ \(\displaystyle{ \frac{1}{x ^{2} }=g(x)}\)

\(\displaystyle{ \lim_{x\to\infty} \frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to\infty} \frac{x ^{4}+x ^{3} }{x ^{4}+x+1 }=1=k}\) Tak więc z faktu, że \(\displaystyle{ 0<k< \infty}\) oraz z tego że całka \(\displaystyle{ \int_{1}^{ \infty } \frac{1}{x ^{2} }dx}\) jest zbieżna, wynika że dana całka \(\displaystyle{ \int_{1}^{ \infty } \frac{x(x+1)}{x ^{4}+x+1 } dx}\) jest zbieżna.

[janusz47]

Kryterium porównawcze:
\(\displaystyle{ \int_{1}^{\infty}\frac{x^{2}+x}{x^{4}+x+1}dx < \int_{1}^{\infty}\frac{x^{2}+x}{x^{4}}dx=\int_{1}^{\infty}\frac{1}{x^{2}}dx+\int_{1}^{\infty}\frac{1}{x^{3}}dx.}\)