[Planimetria] Trójkat o najmniejszym obwodzie

[zbyszek96]

Czesc, mam tu takie zadanko:
W trójkat ostrokątny ABC wpisano trójkąt MNP tak za każdy wierzchołek tego trojkata był na jednym z boków ABC. Udowodnić że trójkat zbudowany na spodpkach wysokości ma najmniejszy obwód ze wszystkich takich trójkątów.

Doszedłem tylko do tego ze boki te trzeba rozpatrywac razem, bo pojedynczo moze byc jeden bok dluzszy od innego ale obwod juz nie. Moje próby opieraly sie na stworzeniu z tego trojkata odcinka w taki sposob ze do jednego z bokow dorysowywalem po jednej i drugiej stronie obrocone boki MNP, niestety nie wiem co mam dalej zrobic, prosze o pomoc

Pozdrawiam.

[norwimaj]

Czy zauważyłeś już, że wysokości trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\) są dwusiecznymi kątów trójkąta spodkowego?

Czy potrafisz rozwiązać poniższe zadanie?

Punkty \(\displaystyle{ M}\) i \(\displaystyle{ N}\) leżą po jednej stronie prostej \(\displaystyle{ k}\). Znaleźć taki punkt \(\displaystyle{ P\in k}\), że suma odległości \(\displaystyle{ |MP|+|PN|}\) jest najmniejsza.-- 4 mar 2014, o 19:53 --Pomyliłem się, to jednak nie jest dobre zadanie pomocnicze. Zadanie można rozwiązać robiąc kilka symetrii względem boków trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\).

[zbyszek96]

Udowodnilem to z dwusiecznymi, odbilem symetrycznie tak ze otrzymalem prosty odcinek, ale dalej nie wiem jak udowodnic ze jest to najkrotszy odcinek, probowalem tez do tych odbitych symetrycznie odcinkow dorysowywac trokaty ABC, ale nic mi to nie dalo :'(
Pozdrawiam.

[norwimaj]

odbilem symetrycznie tak ze otrzymalem prosty odcinek,

O jakiej długości? Jeśli o długości równej obwodowi małego trójkąta, to radzę kontynuować odbijanie symetrycznie. Dopiero gdy uzyskałem dwa razy dłuższy odcinek, to udało mi się coś wywnioskować.

-- 8 mar 2014, o 20:16 --

Ciężko do tego zrobić dobry rysunek, ale może coś zauważysz. W dużym trójkącie jest mały trójkąt, i to wszystko jest poodbijane symetrycznie względem boków tak, że w sumie jest \(\displaystyle{ 6}\) dużych trójkątów. Skrajne dwa zielone boki są równoległe. Niebiesko-zielono-czerwono-niebiesko-zielono-czerwona łamana rozpięta pomiędzy równoległymi zielonymi odcinkami jest dwa razy dłuższa, niż obwód małego trójkąta. Ta łamana jest odcinkiem wtedy i tylko wtedy, gdy mały trójkąt jest trójkątem spodkowym.

\(\displaystyle{ \begin{picture}(0,0)
\color{red}
\qbezier(-37.0,16.0)(-35.0,5.0)(-33.0,-6.0)
\qbezier(-5.0,40.0)(5.0,35.0)(15.0,30.0)
\qbezier(35.0,20.0)(33.0,31.0)(31.0,42.0)
\qbezier(73.4,8.8)(81.0,17)(88.6,25.2)
\color{green}
\qbezier(-33.0,-6.0)(-25.5,9.0)(-18.0,24.0)
\qbezier(15.0,30.0)(22.5,15.0)(30.0,0.0)
\qbezier(31.0,42.0)(43.3,30.6)(55.6,19.2)
\qbezier(88.6,25.2)(90.34,41.88)(92.08,58.56)
\color{blue}
\qbezier(-18.0,24.0)(-11.5,32.0)(-5.0,40.0)
\qbezier(30.0,0.0)(32.5,10.0)(35.0,20.0)
\qbezier(55.6,19.2)(64.5,14)(73.4,8.8)
\qbezier(103.8,41.6)(97.94,50.08)(92.08,58.56)
\thicklines
\color{red}
\qbezier(-30.0,40.0)(-15.0,20.0)(0.0,0.0)
\qbezier(0.0,0.0)(25.0,0.0)(50.0,0.0)
\qbezier(50.0,0.0)(57.0,24.0)(64.0,48.0)
\qbezier(64.0,48.0)(87.4,56.8)(110.8,65.6)

\qbezier(35.0,20.0)(25.0,25.0)(15.0,30.0)
\qbezier(88.6,25.2)(96.2,33.4)(103.8,41.6)
\color{green}
\qbezier(-44.0,-8.0)(-37.0,16.0)(-30.0,40.0)
\qbezier(-30.0,40.0)(-5.0,40.0)(20.0,40.0)
\qbezier(20.0,40.0)(35.0,20.0)(50.0,0.0)
\qbezier(50.0,0.0)(73.4,8.8)(96.8,17.6)
\qbezier(96.8,17.6)(103.8,41.6)(110.8,65.6)

\qbezier(15.0,30.0)(-1.5,27.0)(-18.0,24.0)
\qbezier(55.6,19.2)(72.1,22.2)(88.6,25.2)
\color{blue}
\qbezier(-44.0,-8.0)(-22.0,-4.0)(0.0,0.0)
\qbezier(0.0,0.0)(10.0,20.0)(20.0,40.0)
\qbezier(20.0,40.0)(42.0,44.0)(64.0,48.0)
\qbezier(64.0,48.0)(80.4,32.8)(96.8,17.6)

\qbezier(-37.0,16.0)(-27.5,20.0)(-18.0,24.0)
\qbezier(35.0,20.0)(45.3,19.6)(55.6,19.2)
\end{picture}}\)-- 8 mar 2014, o 20:35 --Zapomniałem ważnego zdania napisać: odległość między końcami łamanej jest stała, tzn. niezależna od tego, jaki trójkąt wpiszemy w ustalony duży trójkąt.