równanie Schrödingera

[g00si4]

Sprawdź, że funkcja \(\displaystyle{ \Psi=e^{\frac{-r}{a_o}}}\) gdzie:


\(\displaystyle{ r= \sqrt{x^2+y^2+z^2}}\)
\(\displaystyle{ a_o=\frac{h^2}{me^2}}\)

spełnia równanie Schrödingera dla:
\(\displaystyle{ H=-\frac{h^2}{2m} \left( \frac{\partial ^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial ^2}{\partial z^2} \right) -\frac{e^2}{r}}\)


**h - "h" kreślone
m - masa elektronu
e - ładunek elementarny
Przyznam szczerze, że policzenie tych różniczek sprawia mi największy problem...

[Chromosom]

Zagadnienie dotyczy wprawdzie chemii, jednakże wykorzystujemy tutaj głównie metody rachunku różniczkowego. W związku z tym, przenoszę temat.

Funkcja jest symetryczna względem początku układu współrzędnych. Spróbuj wykorzystać wzór na pochodną funkcji złożonej.

[g00si4]

\(\displaystyle{ \frac{\partial ^2}{\partial x^2}\left( e^{\frac{-r}{a_o}}\right) =\frac{\partial ^2}{\partial x^2}\left( e^{- \sqrt{x^2+y^2+z^2/a_o}\right)=\frac{\partial}{\partial x}\left( e^{-\sqrt{x^2+y^2+z^2/a_o}\right) \cdot \left[- \frac{( \sqrt{x^2+y^2+z^2})'}{a_o} \right]=\frac{1}{a_o} \frac{\partial}{\partial x}\left[ \frac{x}{ \sqrt{x^2+y^2+z^2}}\cdot \left( e^{-\sqrt{x^2+y^2+z^2}/a_o}\right) \right]=...}\)

no potem to już "schody"... :/

[cosinus90]

Zgubiłaś minus przed ułamkiem.
Teraz różniczkując wyrażenie w nawiasie kwadratowym stosujesz wzór na pochodną iloczynu, przy czym pamiętaj, że pochodna pierwszego składnika będzie jeszcze pochodną ilorazu. Skomplikowane, ale dasz radę

[mmttdd]

Prościej będzie policzyć to w sferycznym układzie współrzędnych. Na pierwszy rzut oka laplasjan w tym układzie wygląda strasznie, ale że funkcja falowa nie zależy od kątów to sporo się uprości i zostanie do policzenia tylko
\(\displaystyle{ \frac{1}{r^2} \frac{ \partial }{ \partial r}\left( r^2 \frac{ \partial \Psi}{ \partial r} \right)}\)

[g00si4]

Prościej będzie policzyć to w sferycznym układzie współrzędnych. Na pierwszy rzut oka laplasjan w tym układzie wygląda strasznie, ale że funkcja falowa nie zależy od kątów to sporo się uprości i zostanie do policzenia tylko
\(\displaystyle{ \frac{1}{r^2} \frac{ \partial }{ \partial r}\left( r^2 \frac{ \partial \Psi}{ \partial r} \right)}\)

powiedzmy, że moja matma nie jest taka "zaawansowana"...

a wracając do liczenia i poprawiając ten błąd (zgubiony minus) to...
\(\displaystyle{ \frac{\partial^2}{\partial x^2}\left( e^{\frac{-r}{a_o}}\right) =...= \frac{1}{a_o} \frac{\partial}{\partial x}\left[ -\frac{x}{ \sqrt{x^2+y^2+z^2}}\cdot e^{-\sqrt{x^2+y^2+z^2}/a_o} \right]=}\)
\(\displaystyle{ = \frac{1}{a_o}\left[ \frac{x}{ \sqrt{x^2+y^2+z^2}}\cdot \frac{1}{a_o}\frac{x}{ \sqrt{x^2+y^2+z^2}}\cdot e^{- \sqrt{x^2+y^2+z^2}/a_o }+\frac{\sqrt{x^2+y^2+z^2}-\frac{x^2}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}}{x^2+y^2+z^2}\cdot e^{-\sqrt{x^2+y^2+z^2}/a_o}\right]=}\)
\(\displaystyle{ = \frac{1}{a_o}\left[ \frac{\frac{1}{a_o}x^2}{x^2+y^2+z^2}+\frac{y^2+z^2}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}(x^2+y^2+z^2)}\right]\cdot e^{ -\sqrt{x^2+y^2+z^2}/a_o }}\)

nie zgubiłam nic?

i teraz dla:
\(\displaystyle{ \frac{\partial^2}{\partial y^2}=...=\frac{1}{a_o}\left[ \frac{\frac{1}{a_o}x^2}{x^2+y^2+z^2}+\frac{x^2+z^2}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}(x^2+y^2+z^2)}\right]\cdot e^{ -\sqrt{x^2+y^2+z^2}/a_o }}\)

\(\displaystyle{ \frac{\partial^2}{\partial z^2}=...=\frac{1}{a_o}\left[ \frac{\frac{1}{a_o}x^2}{x^2+y^2+z^2}+\frac{x^2+y^2}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}(x^2+y^2+z^2)}\right]\cdot e^{ -\sqrt{x^2+y^2+z^2}/a_o }}\)

kontynuując..
należy dodać wszystkie 3 wyniki, wtedy....
\(\displaystyle{ \frac{1}{a_o}\left[ \frac{x^2+y^2+z^2}{a_o(x^2+y^2+z^2)}+\frac{2(x^2+y^2+z^2)}{(x^2+y^2+z^2) \sqrt{x^2+y^2+z^2}} \right]\cdot e^{ -\sqrt{x^2+y^2+z^2}/a_o }=}\)
\(\displaystyle{ =\frac{1}{a_o}\left[ \frac{1}{a_o}+\frac{2}{r}\right]\cdot e^{ \frac{-r}{a_o} }=\left[ \frac{1}{a_o^2}+\frac{2}{ra_o}\right]\cdot e^{ \frac{-r}{a_o} }}\)

[cosinus90]

Bardzo to wszystko zawiłe, generalnie sprawdź czy nie zgubiłaś minusa licząc pochodną iloczynu, bo wydaje mi się że przed drugim składnikiem powinien być minus a nie plus. Poza tym wszystko wygląda w porządku.

[g00si4]

Racja, znowu zgubiłam minus...stawiając go przed całym tym "dużym" nawiasem, powinno być już ok..