Opory ruchu, straty energii.

[Aramil]

Samochodzik porusza się z prędkością początkową \(\displaystyle{ V_{A}= 5 \frac{m}{s}}\). Samochodzik napędzany jest wyłącznie dzieki sile grawitacji. Ile enegrii straci wózek na pokonanie oporów powietrza i tarcia tocznego po przebyciu:
a) spadku do punktu B
b) całej trasy

znamy:
-mase samochodziku \(\displaystyle{ m=900kh}\),
-współczynnik tarcia tocznego\(\displaystyle{ f=0.002m}\)
-powierzchnie rzutu samochodziku na płaszczyznę prostopadłą do wektora prędkości\(\displaystyle{ A=2.13m ^{2}}\)
-współczynnik siły oporu powietrza \(\displaystyle{ C_{x}=0.35}\)

Myślę, żę trzeba wyjść z zasady zachowania energii mechanicznej i powtarzać rownanie po każdym fragmencie, gdy wyliczymy aktualną prędkość z którą porusza się samochodzic, tak?
np dla pierwszego okregu:
\(\displaystyle{ E_{A}=E_{1}+ \int_{}^{}F_{tarcia}ds+ \int_{}^{}F_{powietrza}ds}\)
Nie wiem jak pociagnąć to dalej i czy w ogóle mój tok myślenia jest poprawny.

[kruszewski]

Mam wrażenie, że tak jak Kolega pisze.
Opory ruchu od tarcia o bieżnię nie zależą od prędkości, ale zależą od docisku do niej. I tu na pierwszej górce będzie działać siła odśrodkowa zmniejszająca docisk. Na prostej już nie, ale w siodełku będzie docisk i tak będzie na całej pętli. I tu siła docisku jest funkcją kwadratu prędkości. \(\displaystyle{ P= \frac{mv^2}{r}}\)
Natomiast opór powietrza jest kwadratową funkcją prędkości. Ogólnie taką:
\(\displaystyle{ P_x= \frac{\rho}{2} S_x \cdot v^2 \cdot C_x}\) i dla tego przykładu jest zmienna w czasie. Nie da się uśrednić, bo kwadraty.
Na początku ruchu energia autka to potencjalna + kinetyczna. Po wyjściu na prostą opadającą
znamy potencjalną ale nie znamy kinetycznej. Ale może da się coś zobaczyć po napisaniu równań na opory wyłączając przed nawias \(\displaystyle{ v^2}\), ale wątpię w to.
Coś mi to przypomina krzywą wyrwania z przejściem do pętli w locie szybowcem.
To tak na pierwsze rzucanie okiem na problem.
Z jakiego działu jest to zadanie?
Może wsparcie dałby tu Pan "steal" ? To aerodynamik.

W.Kr.

[steal]

Nie wygląda to trywialnie, bo dla każdego punktu trasy prędkość będzie miała inną wartość, a to zmieni wielkość siły aerodynamicznej, co z kolei zmieni samą prędkość, a więc siła znowu się zmienia... Dlatego nie wiem, czy korzystanie z zas. zach. energii będzie taki ułatwieniem jak to bywa w prostych zadankach bez oporu powietrza. Pracę wykonaną na pokonanie oporów powietrza wyrazić można następująco: \(\displaystyle{ \int_{s_1}^{s_2}F(s)ds=\int_{s_1}^{s_2}\frac{1}{2}\rho AC_xv^2(s)ds}\)
Czyli trzeba wyrazić prędkość \(\displaystyle{ v(s)}\) w zależności od położenia \(\displaystyle{ s}\) (rozwiązując równanie ruchu w kierunku s).

To takie spostrzeżenia z mojej strony.

[Aramil]

Dziękuję bardzo!
Mógłbyś napisać coś więcej o rónaniu ruchu? Niestety brakuje mi wiedzy w tym zakresie.
[edit]
Równanie które powinienem rozwiązać to dynamiczne równanie ruchu? Próbowałem to tak rozwiązywać ale nie jestem pewny czy wszsytko robie dobrze.

[Msciwoj]

Zadanie wydaje się być skomplikowane. Wydaje mi się, że warto rozważyć skorzystanie z metod przybliżonych. Obecnie nie wiem, jak to zrobić ściśle. Wszystko zależy od tego, jakie narzędzia (programy komputerowe itp.) masz do dyspozycji i jak duża dokładność jest ci potrzebna.

Można tutaj zastosować metodę "zerowego przybliżenia". Na czym ona polega i czy zadziała? Czy zadziała - zależy od danych. Na czym polega, już piszę.
Policzenie prędkości wózka w każdym punkcie jest dosyć proste, jeżeli tylko nie działa tarcie i opór powietrza Wtedy prędkość liczymy z zasady zachowania energii mechanicznej:
\(\displaystyle{ E =mgh + \frac{mv^2}{2}}\)
gdzie \(\displaystyle{ E}\) oznacza całkowitą energię wózka, mierzoną w odniesieniu do podłogi, gdzie przyjmujemy \(\displaystyle{ h=0}\).
Idea "zerowego przybliżenia" wygląda tak: Najpierw dzielimy cały tor na jakieś wygodne kawałki ( łuki okręgów i linie proste). Potem, dla pierwszego kawałka, z zasady zachowania energii (przyjmując \(\displaystyle{ E}\) takie jak na początku) liczymy prędkość w każdym punkcie toru (który jakoś parametryzujemy, najlepiej ze względu na \(\displaystyle{ h}\) - zajmujemy się jednym kawałkiem, więc każdy punkt będzie funkcją wysokości). Przyjmujemy BRAK sił oporu.
Siły tarcia i oporu zależą od prędkości i kształtu toru. A dokładniej, promienia krzywizny i kąta nachylenia. Warto bowiem pamiętać, że praca siły tarcia zależy od siły nacisku, a ta zależy również od siły grawitacji, której składowa prostopadła do toru nas interesuje. Straty na tarciu to będzie zawsze siła tarcia razy długość odcinka, na którym mamy takie właśnie tarcie. Ponieważ będziemy parametryzować ze względu na \(\displaystyle{ h}\), długość odcinka będzie równa \(\displaystyle{ \sqrt{1+(\frac{dh}{dx})^2}dx}\). Podobnie z siłą oporu powietrza - długość odcinka razy siła.
Mając policzoną prędkość w każdym punkcie możemy policzyć straty na tarciu i oporze powietrza DO momentu przekroczenia jakiegoś punktu. Zapisujemy to jako, nie wiem \(\displaystyle{ T(h)}\) oraz \(\displaystyle{ P(h)}\). To jest to "zerowe przybliżenie". No i to może nam wyjść jakaś ładna funkcja, a może nam wyjść mnóstwo brzydkich liczb, które będziemy musieli przechować w jakiejś tablicy i jakimś programie.
Teraz przechodzimy do następnego odcinka i robimy dokładnie to samo, tylko zamiast \(\displaystyle{ E}\) przyjmując \(\displaystyle{ E -T-P}\), gdzie \(\displaystyle{ T}\) oraz \(\displaystyle{ P}\) to odpowiednio całkowita strata na tarciu i oporze powietrza na długości całego toru do tej pory. Dlaczego tak robimy? Ponieważ na każdym kawałku odpowiednie siły wyrażają się przez inne funkcje, to i tak byśmy musieli to podzielić, więc możemy przy okazji zwiększyć dokładność. Zauważmy, że jedyne, co to zmienia, to energia całkowita wózka na początku odcinka (którą na tym etapie pozostawiamy stałą), czyli jedna liczba. Moglibyśmy oczywiście przyjąć, że to cały czas jest \(\displaystyle{ E}\) i wtedy nasze przybliżenie byłoby mniej dokładne i jeszcze bardziej "zerowe".

Kiedy przejdziemy przez cały tor, mamy jakieś wartości strat przypisane do każdego punktu toru. Więc teraz zaczynamy zabawę od początku. Znowu liczymy prędkość dla każdego punktu toru z zasady zachowania energii, teraz jednak przyjmujemy całkowitą energię za równą energii początkowej pomniejszonej o straty (które są funkcją punktu toru!) policzone w korku poprzednim. Ponieważ funkcja \(\displaystyle{ E}\) jest ciągła, nie mamy już skoków na krawędziach kolejnych odcinków.

Mamy prędkość w każdym punkcie, liczymy więc pracę siły tarcia i oporu powietrza w każdym punkcie, zapisujemy nowe wartości \(\displaystyle{ T(s)}\) i \(\displaystyle{ P(s)}\) i powtarzamy wszystko od nowa. WAŻNE: nie dodajemy nowego \(\displaystyle{ T}\) do starego ani nic w tym stylu - robimy "drugie przejście" z innymi wartościami.

Po każdym kroku otrzymamy inne, bardziej dokładne wartości \(\displaystyle{ T}\) oraz \(\displaystyle{ P}\). Wydaje mi się, że będą one się zmieniać tak: duże, małe, duże, małe, duże, małe. Bo im większe straty, tym mniejsza prędkość, tym mniejsze straty. I na odwrót.

Tu się przyda program w stylu Mathematica lub Matlab. Albo przynajmniej jakiś domowy skrypcik w Pajtonie.

Jeśli chodzi o robienie tego ściśle, pewnie wymagałoby to po prostu rozwiązania niejednorodnego równania różniczkowego pierwszego lub drugiego stopnia, i to rozwiązania go wielokrotnie dla każdego kawałka toru. Równanie ruchu powinno się do czegoś takiego sprowadzić. Postaram się to napisać tutaj niedługo, na razie macie to.

UWAGA KOŃCOWA:

Energia całkowita w czubku pętli musi być przynajmniej równa \(\displaystyle{ mg(h+\frac{R_7}{2})}\), gdzie \(\displaystyle{ h}\) to wysokość tego czubka, aby wózek się nie oderwał. Wynika to z faktu, że musi on mieć prędkość równą co najmniej tyle, aby spełnione było równanie:
\(\displaystyle{ \frac{mv^2}{R_7} = mg}\), co sprowadza się do \(\displaystyle{ \frac{mv^2}{2} = \frac{mgR_7}{2}}\). Oczywiście wyrażenie po obu stronach to energia kinetyczna, wchodząca w skład całkowitej. Warto sprawdzić, czy to zachodzi po zerowym przybliżeniu, żeby nie obudzić się z ręką w nocniku. Jeżeli tak (a doświadczenie pokazuje, że wózek się nie odrywa), warto przyjąć na tym odcinku taką wartość, żeby to równanie było spełnione, żeby nam się nic nie zepsuło.

[Aramil]

Dziękuję Ci bardzo, za pomoc i wyczerpujący post. Wiele mi to rozjaśniło. Sadzę, że będę w stanie napisać program który to będzie zliczał. niestety nie umiem rozwiązać tych równań. Czy mógłbym Cię jeszcze bardzo prosić o pomoc w ich rozwiązaniu?