Zbiór na płaszczyźnie

[anton753159]

Witam
Mam problem z rozpisaniem i narysowaniem takiego zbioru:
\(\displaystyle{ 1- \sqrt{2\left| x\right| - x^{2} } \le \left| y\right| \le 1+ \sqrt{2-\left| x\right| }}\)
Najpierw rozpisałem to na 4 przypadki zależnie od x i y. Widać po postaci, że po podniesieniu do kwadratu będą to jakieś łatwiejsze do narysowania krzywe, więc trzeba by to rozpisać w zależności od znaku poszczególnych wyrażeń. Dziedzina tego wyrażenia to \(\displaystyle{ x \in \left\langle -2,2\right\rangle}\). Widać z tego, że pierwiastek po lewej będzie dla każdego x niedodatni, pierwiastek po prawej nieujemny, a środkowe \(\displaystyle{ \left| y\right|-1}\) będzie przyjmować różne znaki, więc trzeba je osobno rozważać. Czyli z 4 przypadków robi się 8. Żeby uniknąć bałaganu rozdzieliłem nierówność z podwójnej na 2 pojedyncze. Narazie mam rozpisane dla \(\displaystyle{ y \ge 0}\) który rozbija się na 2 przedziały w zależności od wartości wyrażenia \(\displaystyle{ y-1}\). Teraz jednak utknąłem, bo nie wiem jak dalej liczyć. Mam nierówności, gdzie znaki się zgadzają, i takie gdzie są różne. Co zrobić, aby w takim przypadku móc podnieść stronami do kwadratu? Naprawdę nie wiem jak to ruszyć. Wstawiam jeden z 8 przypadków, jak będę wiedział jak zrobić 1 to i dam radę z resztą.
\(\displaystyle{ x \in \left\langle-2,0 \right)}\)
\(\displaystyle{ y \ge 1}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{-2x- x^{2} } \le y-1 \le \sqrt{2+x }}\)
W tym wypadku pierwsze wyrażenie jest niedodatnie a drugie i trzecie nieujemne

[kropka+]

Zjadłeś minusa przed pierwiastkiem po lewej. Pierwsza nierówność zachodzi dla każdego igreka.
Drugą nierówność podnieś stronami do kwadratu i dostaniesz nierówność kwadratową.

[anton753159]

Rzeczywiście, niedopatrzenie. Co do pierwszej nierówności racja, będzie zachodzić odpowiednio dla wszystkich igreków nieujemnych lub ujemnych zależnie od rozważanego wariantu.
Co do drugiej nierówności mam jednak wątpliwości. Z 4 opcji napiszę jedną
\(\displaystyle{ x \in \left\langle0,2 \right\rangle)}\)
\(\displaystyle{ y \ge 0}\)
\(\displaystyle{ y \le 1+\sqrt{2+x }}\)
W takiej formie po obu stronach mamy taki sam znak wyrażeń dla każdego x i y. Tylko że podniesienie do kwadratu nie zlikwiduje pierwiastka. Po odjęciu stronami 1 i podniesieniu do kwadratu natomiast pierwiastek zniknie:
\(\displaystyle{ y-1 \le \sqrt{2+x }}\)
Teraz jednak prawa strona jest nieujemna dla wszystkich iksów z dziedziny, natomiast po lewej gdy
\(\displaystyle{ y \in \left\langle0,1 \right)}\)
lewa strona będzie ujemna. Czy dobrze rozumuję? Jak ruszyć tą nierówność w przedziale gdzie lewa strona jest ujemna? Dla \(\displaystyle{ y \ge 1}\) nie ma problemu, bo zwyczajnie podnoszę do kwadratu bez zmiany znaku nierówności lub analogicznie w innych wariantach. Co jednak kiedy \(\displaystyle{ y \in \left\langle0,1 \right)}\) ?

[kropka+]

\(\displaystyle{ y \le 1+\sqrt{2+x }}\)

Lewa strona mniejsza od jedynki, prawa większa od jedynki. Czyli nierówność zachodzi w tym przypadku.

[anton753159]

Dobrze, a czy zachodzi także \(\displaystyle{ (y-1)^{2} \le 2+x}\)?

[kropka+]

Akurat zachodzi. Jak przeniesiesz dwójkę na lewo, to lewa strona od minus dwóch do minus jeden, a prawa między zerem a dwójką.