Zbieżność całki niewłaściwej, wartość główna

[piotrekdoro]

Witam. Mam problem z dwoma zadaniami:

1). Zbadaj zbieżność całki przy pomocy kryterium porównawczego:

\(\displaystyle{ \int\limits_{10}^{ \infty } \frac{ (\sqrt{2}+ \cos x) }{ \sqrt{x}-1 }dx}\)

Nie mam pojęcia co zrobić z cosinusem. Podstawianie 1 lub -1 nic nie dawało więc podejrzewam, że trzeba zastosować jakieś sprytne podstawienie, na które nie mogę wpaść.

2). Wyznacz wartość główną całki niewłaściwej:

Kiedy próbuję policzyć poniższą całkę z definicji to okazuje się, że nie jest ona zbieżna więc nie mogę skorzystać z tego, że gdy całka jest zbieżna to jej wartość główna jest równa wartości całki. Muszę więc skorzystać z definicji wartości głównej:

\(\displaystyle{ \int\limits_{- \infty }^{ \infty } (x^3-x^2)dx= \lim_{T \to \infty }\int\limits_{-T}^{T}(x^3-x^2)dx= \lim_{ T\to \infty } ( \frac{T^4}{4}- \frac{T^3}{3}- \frac{(-T)^4}{4}+ \frac{(-T)^3}{3})= \lim_{ T\to \infty } (\frac{-2T^3}{3})=- \infty}\)

No i wychodzi mi nieskończoność. Nie wiem w ogóle czy wartość główna może być nieskończona, a jeśli nawet może to nie jestem pewien czy moje rozumowanie jest dobre. O ile we wcześniejszym przykładzie proszę tylko o podpowiedź co zrobić z cosinusem tak w tym miejscu przydałoby mi się pełniejsza odpowiedź. Z góry dziękuję za szybką odpowiedź.

[miodzio1988]

Oszacuj cosinus i problem z głowy zadnego podstawiania

[piotrekdoro]

Rzeczywiście, za drugim razem jednak wyszło. Dziękuję.
Czy ktoś mógłby spojrzeć jeszcze na drugie zadanie?

[fuqs]

co do zadania 2 to całka jest rozbieżna.