Pole obszaru - postać parametryczna

[lne1]

1. Oblicz pole obszaru ograniczonego krzywą \(\displaystyle{ x=2t-t^2}\), \(\displaystyle{ y=2t^2-t^3}\).

2. Oblicz pole obszaru ograniczonego krzywą \(\displaystyle{ x=t-\frac{1}{t}}\), \(\displaystyle{ y=t+\frac{2}{t}}\) i prostą \(\displaystyle{ y=3}\).

[fuqs]

Musisz uzupełnić treść zdania, tj. jak zmienia się parametr \(\displaystyle{ t}\)

[lne1]

@fuqs, to jest cała treść zadania.
W zad. 1 widać, że ta krzywa ma pętlę dla \(\displaystyle{ t\in[0,2]}\). Problem w tym, że to "widać", nie wiem jak to wyliczyć. Mam nadzieję, że ktoś mądrzejszy ode mnie mi to wyjaśni.
W zad. 2 też musi być jakiś sposób na obliczenie granic całkowania.

[fuqs]

Co do podpunktu a)

Faktycznie, jest to rodzaj pętelki.

Zauważ, że w układzie współrzędnych najdalej wysunięty na "wschód" punkt ma współrzędną (1,1).

A więc jeśli chodzi o granice całkowania ze względu na x to będzie to przedział [0,1]

Prosta y=1 dzieli nam tą pętelkę na dwa wykresy funkcji (na [0,2]). Trzeba je wyznaczyć

[lne1]

@fuqs, w podpunkcie a) całkowanie po \(\displaystyle{ x}\) (czy po \(\displaystyle{ y}\)) nie jest dobrym pomysłem. Ponadto chodzi mi o rozwiązanie tego per se, bez odwoływania się do wykresu funkcji (na którym coś "widać"), tylko obliczenie granic całkowania (od \(\displaystyle{ 0}\) do \(\displaystyle{ 2}\) po zmiennej \(\displaystyle{ t}\)) ze wzorów na \(\displaystyle{ x(t)}\) i \(\displaystyle{ y(t)}\).

[Mariusz M]

Co do podpunktu a)

Faktycznie, jest to rodzaj pętelki.

Zauważ, że w układzie współrzędnych najdalej wysunięty na "wschód" punkt ma współrzędną (1,1).

A więc jeśli chodzi o granice całkowania ze względu na x to będzie to przedział [0,1]

Prosta y=1 dzieli nam tą pętelkę na dwa wykresy funkcji (na [0,2]). Trzeba je wyznaczyć

Jak chcesz uzależniać \(\displaystyle{ y}\) od \(\displaystyle{ x}\)

to raczej w ten sposób

\(\displaystyle{ x\left( t\right)=2t-t^2\\
y\left( t\right)=2t^2-t^3\\
x=1-\left( t-1\right)^2\\
\left( t-1\right)^2=1-x\\
t-1=\pm \sqrt{1-x} \\
t=1\pm \sqrt{1-x}\\
y=x\pm x\sqrt{1-x}\\
\int_{0}^{1}{\left( \left( x+x \sqrt{1-x} \right)-\left( x-x \sqrt{1-x} \right) \right) \mbox{d}x }\\
=\int_{0}^{1}{2x\sqrt{1-x} \mbox{d}x }\\
1-x=u^2\\
1-u^2=x\\
\mbox{d}x =-2u \mbox{d}u\\
u\left( 0\right)=1\\
u\left( 1\right)=0\\
\int_{1}^{0}{2\left( 1-u^2\right)u\left( -2u\right) \mbox{d}u }\\
\int_{0}^{1}{4u^2\left( 1-u^2\right) \mbox{d}u}\\
=4\int_{0}^{1}{\left( u^2-u^4\right) \mbox{d}u }}\)


ale po co wtedy parametryzacja

W drugiej całce aby dostać przedział całkowania wystarczy przyrównać

\(\displaystyle{ y=t+\frac{2}{t}}\)
oraz \(\displaystyle{ y=3}\)

\(\displaystyle{ x\left( 1\right) =1-\frac{1}{1}=0\\
x\left( 2\right)=2-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}\\}\)

Teraz przydałoby się sparametryzować prostą \(\displaystyle{ y=3}\)
na tym odcinku (wystarczy skorzystać z dwupunktowego równania prostej)

Czy celem parametryzacji w drugiej całce było ominięcie podstawień Eulera