Pytania o spójność i podzbiory otwarto-domknięte

[nmmjm93]

Mam problem z tymi pytaniami:
\(\displaystyle{ 1.}\) Istnieje, taka przestrzeń topologiczna, która zawiera dokładnie 3 podzbiory domknięto-otwarte.
\(\displaystyle{ 2.}\) Składowa łukowej spójności punktu \(\displaystyle{ x \in X}\) zawsze zawiera składową punktu \(\displaystyle{ x \in X}\)
Czy \(\displaystyle{ sin( \frac{1}{x} )}\) i składowa spójności w \(\displaystyle{ 0}\) jest dobrym kontrprzykładem?
\(\displaystyle{ 3.}\) Niech \(\displaystyle{ A \subset R ^{2}}\) będzie spójnym, gęstym i otwartym podzbiorem płaszczyzny euklidesowej. Wówczas \(\displaystyle{ A = R^{2}}\)

W 3 doszłam doszłam tylko do zawierania w jedną stronę:
\(\displaystyle{ A \subset {\overline{A}} = R \times R}\)

[szw1710]

1. \(\displaystyle{ X=A\cup B\cup C}\) i \(\displaystyle{ A,B,C}\) są d-o. Więc także d-o są \(\displaystyle{ A\cup B}\), \(\displaystyle{ A\cup C}\), \(\displaystyle{ B\cup C}\) i są wzajemnie różne, jeśli różne są \(\displaystyle{ A,B,C}\).

[nmmjm93]

Dziękuję, a masz jakiś pomysł na 2 i 3?

[szw1710]

3. Bez sensu. Jaki jest zbiór gęsty? Jego domknięcie to całość. A więc domknięty zbiór gęsty to całość niezależnie od spójności. Ktoś przeholował z założeniami.

Masz gotowce do dwóch zadań.

[nmmjm93]

W 3 sprawdzilłam i było jednak założenie o otwartości \(\displaystyle{ A}\)

[Dasio11]

W 1. chyba istnieje. Na przykład

\(\displaystyle{ [0, 1] \cup [2, 3]}\)

z podzbiorami

\(\displaystyle{ [0, 1], \ [2, 3], \ [0, 1] \cup [2, 3].}\)

[szw1710]

A zbiór pusty i cała przestrzeń?

[Dasio11]

Całą przestrzeń napisałem, zbioru pustego nie. No to faktycznie chyba nie istnieje.

Edit: Myślę, że ogólnie jeśli podzbiorów otwarto-domkniętych ma być skończenie wiele, to możemy oznaczyć przez \(\displaystyle{ n}\) liczbę składowych spójności tej przestrzeni i wtedy zbiorów otwarto-domkniętych jest \(\displaystyle{ 2^n.}\) Każdy taki zbiór jest bowiem sumą niektórych składowych spójności.

[szw1710]

Z dwoma istnieje. Singleton Z czterema też: dwa singletony z topologią dyskretną.

[matmatmm]

Ogólnie, to jeśli liczba podzbiorów d-o jest skończona, to na pewno jest parzysta, gdyż dopełnienie zbioru domknięto-otwartego jest zbiorem domknięto-otwartym. Teza Dasio11 jest silniejsza, ale moja wystarczy.

[Dasio11]

Z wyjątkiem jednego przypadku, w którym dopełnienie zbioru domknięto-otwartego jest nim samym i wówczas rozumowanie nie działa. W jedynej przestrzeni, w której taki podzbiór istnieje, jest wtedy \(\displaystyle{ 2^0 = 1}\) podzbiorów domknięto-otwartych.

[a4karo]

A w 3 trzeba szukac kontrprzykłądu: jest dość trywialny

[nmmjm93]

W 3. przychodzi mi tylko do głowy to, że jeżeli \(\displaystyle{ A}\) jest spójnym, gęstym, otwartym pozdbiorem, to nie istnieje rozkład \(\displaystyle{ R \times R = U \cup V}\), taki że \(\displaystyle{ U \cap A = \o}\) oraz \(\displaystyle{ V \cap A \neq \o}\)
A z tego, że \(\displaystyle{ R \times R}\) jest zbiorem otwartym, spójnym i \(\displaystyle{ A}\) jest otwarty, spójny, gęsty możemy wywnioskować, równość.

[Dasio11]

Jak a4karo słusznie stwierdza, istnieje kontrprzykład w zadaniu trzecim. Musisz poszukać takiego otwartego, gęstego i spójnego \(\displaystyle{ A \subseteq \RR^2,}\) że \(\displaystyle{ A \neq \RR^2.}\)

[nmmjm93]

Hmm, to dziwne, bo w odpowiedziach mam tak