Co dokładnie według was oznacza, iż zbiory \(\displaystyle{ A,B \in \mathcal{X}}\) są topologicznie równoważne względem \(\displaystyle{ \mathcal{X}}\)? Czy wie ktoś może gdzie mogę znaleźć coś więcej na ten temat? (Na przykład jakieś twierdzenia, lepsze wytłumaczenie i własności, np. kiedy zbiory mogą być homeomorficzne, ale nierównoważne topologicznie względem \(\displaystyle{ \mathcal{X}}\)).
K.Kuratowski we Wstępie do teorii mnogości i topologii, wydaniu 7, rozdz. XII, str 135, pisze:
(...) Należy jednak mieć na uwadze, że dwa zbiory \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) mogą być homeomorficzne, lecz różnie położone w przestrzeni \(\displaystyle{ \mathcal{X}}\) (czyli nierównoważne topologicznie względem \(\displaystyle{ \mathcal{X}}\)); tzn. że nie istnieje przekształcenie homeomorficzne f przestrzeni \(\displaystyle{ \mathcal{X}}\) na \(\displaystyle{ \mathcal{X}}\) takie, że \(\displaystyle{ f(A) = B}\).
Np. \(\displaystyle{ \mathcal{X} = \mathbb{R}}\) , \(\displaystyle{ A}\) składa się z punktu \(\displaystyle{ 1}\), odcinka \(\displaystyle{ 2 \le x \le 3}\) i punktu \(\displaystyle{ 4}\), zaś \(\displaystyle{ B}\) składa się z punktów \(\displaystyle{ 0, 1}\) oraz z odcinka \(\displaystyle{ 2 \le x \le 3}\). Te same zbiory są topologicznie równoważne względem \(\displaystyle{ \mathbb{R}^2}\)
Ukryta treść:
