Rozszerzenie ciał o pierwiastek wielomianu

[JakubCh]

Czytałem o rozszerzeniach ciał, gdy natknąłem się na następujące zdanie:

"Rozszerzenie o pierwiastek danego wielomianu nie jest wyznaczone jednoznacznie w przypadku gdy wielomian jest rozkładalny. W przypadaku gdy dany wielomian jest nierozkładalny, to rozszerzenia wyznacza się z dokładnością do izomorfizmu."

Czy mógłby mi ktoś wyjaśnić, o co w nim chodzi? Chodzi mi głównie o drugą część:)

[niebieska_biedronka]

"Z dokładnością do izomorfizmu" to znaczy, że dla dowolnych dwóch takich rozszerzeń (dla wielomianów nierozkładalnych) istnieje izomorfizm, który przeprowadza jedno rozszerzenie w drugie. W tym sensie te ciała są praktycznie nierozróżnialne.

[JakubCh]

Wiem, zastanawiam się dlaczego tak jest

[niebieska_biedronka]

aaa, źle zrozumiałam pytanie.

Na to już nie potrafię odpowiedzieć wprost... Można wykazać, że dla ciał rzędu skończonego \(\displaystyle{ \forall p \in \mathbb{P}, n \in \mathbb{N}}\) istnieje dokładnie jedno ciało rzędu \(\displaystyle{ p^n}\). Ale nie wiem, czy to tu coś pomoże... chętnie posłucham kogoś mądrzejszego

[cc201]

Jeżeli wielomian \(\displaystyle{ P \in K[X]}\) jest nierozkładalny, a,b są jego pierwiastkami, to K[a] i K są izomorficzne z ilorazem K[X]/(P).

Jeśli P jest rozkładalny, to niech np. \(\displaystyle{ K=\mathbb Q, P=(X^2-3)(X^3-3)}\) i niech \(\displaystyle{ a= \sqrt{3}, b= \sqrt[3]{3}}\). Wtedy a,b są pierwiastkami P i rozszerzenie K o a ma stopień 2, a o b - stopien 3. Więc nie są izomorficzne.

[JakubCh]

Dziękuję