LXV (65) OM - II etap.

[Msciwoj]

Dzisiejsze zadania też spoko mieliście. Jaka była wzorcówka do 5.? Bo podejrzewam, że znacząco różni się od mojego rozwiązania, które sprowadza się do:

Ukryta treść:    

1. Pokazanie, że dwusieczna \(\displaystyle{ \angle AYP}\) pokrywa się z dwusieczną \(\displaystyle{ \angle XYQ}\)
2. Pokazanie, że \(\displaystyle{ AY \cdot PY = XY \cdot QY}\)
3. Definiujemy przekształcenie \(\displaystyle{ S}\) jako złożenie inwersji o środku \(\displaystyle{ Y}\) i promieniu \(\displaystyle{ \sqrt{AY \cdot PY}}\) oraz symetrii względem dwusiecznej \(\displaystyle{ \angle AYP}\) i pokazujemy, że \(\displaystyle{ S(B)=B}\)

Ogólnie trik ze złożeniem inwersji i symetrii względem dwusiecznej przydaje się bardzo często (pozdrawiam Michała Kiezę), więc warto go znać, mam wrażenie, że jakieś zadanie z zeszłorocznego EGMO z tego idzie.

Czy ludzie oceniają 4. jako darmowe?

[Pinionrzek]

Wzorcówka jest taka jak większość osób zrobiło to zadanie, tzn wykazywała, że czworokąt \(\displaystyle{ AYPQ}\) jest cykliczny i potem już kąty.
Tak, 4 jest najprostsze ze wszystkich sześciu

[kaszubki]

Piąte szło bardzo fajnie na zespo. Tak niestandardowo, bo zwykle wypisuje się założenia, miele i dostaje się tezę. A to zrobiłem tak, że wziąłem losowe 3 punkty na okręgu, pokazałem co jest dla nich równoważne z założeniem, a co z tezą. No i wychodził dokładnie ten sam niezbyt długi napis.

[nobuddy]

\(\displaystyle{ \frac{x ^{3}+y ^{3} }{xy}}\)

Jesli x i y sa nieparzyste, to powyzszy ulamejk nie jest liczba calkowita. Tak samo, jesli jedna jest parzysta, a druga nieparzysta. Czyli dwie liczby parzyste. Stad teza.

Jest tu pewna usterka, mianowicie czasem dla x i y nieparzystych powyższy ułamek mógłby być całkowity. Na szczęście liczby nieparzyste są zawsze podzielne przez 3, i można tu zastosować schodzenie, dzieląc je przez 3 aż będą parzyste.

A tak serio - czemu nikt nie dowodzi kolejności punktów A, B, Q na prostej? Przecież to (chyba?) typowy problem z konfiguracją, bo wszystko sie psuje gdyby nie leżały jak trzeba...

[gus]

\(\displaystyle{ \frac{x ^{3}+y ^{3} }{xy}}\)

Jesli x i y sa nieparzyste, to powyzszy ulamejk nie jest liczba calkowita. Tak samo, jesli jedna jest parzysta, a druga nieparzysta. Czyli dwie liczby parzyste. Stad teza.

Piękne i trikowe rozwiązanie!

To co napisalem, to prawda, ale sie pomylilem i to nie konczy zadania, wiec juz sie ze mnie nie smiejcie

[timon92]

A tak serio - czemu nikt nie dowodzi kolejności punktów A, B, Q na prostej? Przecież to (chyba?) typowy problem z konfiguracją, bo wszystko sie psuje gdyby nie leżały jak trzeba...

Masz rację, trzeba tego dowieść. Właśnie tu korzysta się z tego, że \(\displaystyle{ X}\) leży bliżej \(\displaystyle{ AB}\) niż \(\displaystyle{ Y}\). Za nieuzasadnienie tego pewnie będą ścinane punkty.

[nobuddy]

Masz rację, trzeba tego dowieść. Właśnie tu korzysta się z tego, że \(\displaystyle{ X}\) leży bliżej \(\displaystyle{ AB}\) niż \(\displaystyle{ Y}\). Za nieuzasadnienie tego pewnie będą ścinane punkty.

No właśnie, bo to że Q jest tam gdzie trzeba sprowadza się do rozwartości kąta \(\displaystyle{ AXB}\). Tylko zdziwiło mnie że we wzorcówce nie ma ani słowa o tej kolejności - rozumiem że to nie świadczy o tym że jej nie trzeba komentować (czyli wzorcówka niekoniecznie musi być warta 6 punktów)?

[Htorb]

Prędzej będą cieli za rozwiązanie powołujące się na własności symedian bez dowodu niż o inne położenie punktu \(\displaystyle{ Q}\) na prostej \(\displaystyle{ AB}\).

[Vether]

Kurde... To trochę kicha, bo ja mam dowód oparty na symedianach, biegunowych i dwustosunku...

[Htorb]

Jak to szło z dwustosunku, mógłbyś napisać szkic?

[timon92]

na przykład tak: niech \(\displaystyle{ YQ}\) tnie \(\displaystyle{ o_2}\) drugi raz w punkcie \(\displaystyle{ Z}\), a \(\displaystyle{ XY}\) tnie \(\displaystyle{ AB}\) w \(\displaystyle{ M}\) (to jest środek odcinka \(\displaystyle{ AB}\) - to łatwe), wtedy \(\displaystyle{ -1=(XB, XP; XY, XZ)=(XA, XB; XM, XZ)}\) zatem skoro \(\displaystyle{ M}\) jest środkiem \(\displaystyle{ AB}\) to \(\displaystyle{ XZ \parallel AB}\), zatem cięciwy \(\displaystyle{ XB, XZ}\) okręgu \(\displaystyle{ o_2}\) są równe, a stąd \(\displaystyle{ \angle XYB = \angle BYQ}\) czyli teza

[Rafal_algo]

hmm... Apropo tak sie zastanawiam tylko czy w zadaniu 4 raczej wskazane jest pokazywanie ze jak jest 2 podrozujacych to czy taki plan meczy wogole istnieje. I dlaczego liczba druzyn byla parzysta ? bo w rozwiazniach nikt z tego wprost nie korzysta

[Vether]

Szacunek... Ale można też np tak :

\(\displaystyle{ X'}\) jest odbiciem \(\displaystyle{ X}\) względem \(\displaystyle{ AB}\) i leży na okręgu opisanym na \(\displaystyle{ ABY}\). Styczne do tego okręgu w punktach \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) tną się w \(\displaystyle{ R}\). \(\displaystyle{ R}\), \(\displaystyle{ X'}\), \(\displaystyle{ Y}\) są współliniowe (symediana). \(\displaystyle{ AB}\) i \(\displaystyle{ XY}\) tną się w \(\displaystyle{ M}\). \(\displaystyle{ QY}\) tnie okrąg \(\displaystyle{ o_2}\) w \(\displaystyle{ Z}\). Patrząc na oczywiste czwórki harmoniczne na \(\displaystyle{ RY}\) i \(\displaystyle{ QY}\) dostajemy współliniowość \(\displaystyle{ X'}\), \(\displaystyle{ B}\), \(\displaystyle{ Z}\). Trójkąty \(\displaystyle{ AYB}\) i \(\displaystyle{ X'YZ}\) są podobne (kąty) i \(\displaystyle{ \sphericalangle AYM = \sphericalangle X'YB}\), więc \(\displaystyle{ B}\) jest środkiem \(\displaystyle{ X'Z}\), stąd podobieństwo \(\displaystyle{ MYB}\) i \(\displaystyle{ BYZ}\), skąd teza...

Uważałem, że jest piękny... A potem timon92 pokazał swój dowód

A tak btw... nie jestem pewien, czy pokazałem, że \(\displaystyle{ R}\), \(\displaystyle{ B}\), \(\displaystyle{ P}\) współliniowe... :/ Myślicie, że mogliby za to ściąć do \(\displaystyle{ 5}\) czy raczej do \(\displaystyle{ 2}\)...? Bo chyba nie wyzerują?

@up: Pokazanie, że istotnie w rozgrywkach mogą brać udział dwie drużyny podróżujące chyba nie powinno być wymagane... (ale ja na wszelki wypadek to pokazałem ). A co do parzystości... Liczba drużyn musi być parzysta, żeby prawdziwe było zdanie: "W każdej kolejce każda drużyna rozegrała jeden mecz."

[nobuddy]

Apropo tak sie zastanawiam tylko czy w zadaniu 4 raczej wskazane jest pokazywanie ze jak jest 2 podrozujacych to czy taki plan meczy wogole istnieje.

Byłoby, gdyby pytanie brzmiało "Wyznacz maksymalną możliwą liczbę drużyn podróżujących", ale brzmi "Udowodnij, że nie może być ich więcej niż dwie", więc jasne że nie trzeba.

[piotr5]

Moje rozwiązanie 5.:

Ukryta treść:    

Robimy inwersję w punkcie B i dowolnym promieniu. Wtedy \(\displaystyle{ o_2}\) przechodzi na prostą równoległą do AB, a okrąg \(\displaystyle{ o_1}\) i prosta PQ na okręgi o tych samych promieniach. Następnie wystarczy z prostych symetrii zauważyć, że X'Y' i BQ' mają tą samą długość.