Mam prośbę o pomoc/wskazówkę i o to czy w ogóle mam racje
jak udowodnić że \(\displaystyle{ a= \sqrt{x^2+y}- \sqrt{y^2+x}}\) jest niewymierne gdy potrzebuje tego zeby dokończyć zadanie a przepraszam wystarczy ze nie bedzie całkowite
\(\displaystyle{ x,y}\) naturalne
Niewymierność liczby
-
bakala12
- Użytkownik
- Posty: 3035
- Rejestracja: 25 mar 2010, o 15:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gołąb
- Podziękował: 24 razy
- Pomógł: 513 razy
Niewymierność liczby
Nie wprost, załóżmy że jest to liczba wymierna.
Wówczas istnieją liczby całkowite \(\displaystyle{ p,q, q \neq 0}\) że \(\displaystyle{ a=\frac{p}{q}}\)
Zauważmy, że \(\displaystyle{ a=\frac{x^{2}+y-y^{2}-x}{\sqrt{x^{2}+y}+\sqrt{y^{2}+x}}}\)
Wobec tego wymierna jest liczba \(\displaystyle{ \sqrt{x^{2}+y}+\sqrt{y^{2}+x}}\) albo \(\displaystyle{ x^{2}+y-y^{2}-x=0}\). Drugi przypadek po uwzględnieniu, że \(\displaystyle{ x,y \in \mathbb{Z}_{+}}\) daje \(\displaystyle{ x=y}\), ale to nie jest możliwe. Zatem wymierna jest liczba \(\displaystyle{ \sqrt{x^{2}+y}+\sqrt{y^{2}+x}}\), a w konsekwencji wymierne są liczby \(\displaystyle{ \sqrt{x^{2}+y}}\) oraz \(\displaystyle{ \sqrt{y^{2}+x}}\).
Teraz można użyć znanego faktu, tysiąc razy dowodzonego na forum, mianowicie:
Załóżmy najpierw, że \(\displaystyle{ x>y}\). Wtedy:
\(\displaystyle{ x^{2}<x^{2}+y<x^{2}+x<x^{2}+2x+1=\left( x+1\right)^{2}}\), zatem liczba \(\displaystyle{ x^{2}+y}\) nie może być kwadratem liczby całkowitej.
Podobnie gdy \(\displaystyle{ x<y}\) to mamy:
\(\displaystyle{ y^{2}<y^{2}+x<y^{2}+y<y^{2}+2y+1=\left( y+1\right)^{2}}\), zatem liczba
\(\displaystyle{ y^{2}+x}\) nie może być kwadratem liczby całkowitej.
W obu przypadkach otrzymaliśmy sprzeczność, która dowodzi, że liczba \(\displaystyle{ a}\) jest niewymierna. \(\displaystyle{ \square}\)
Wówczas istnieją liczby całkowite \(\displaystyle{ p,q, q \neq 0}\) że \(\displaystyle{ a=\frac{p}{q}}\)
Zauważmy, że \(\displaystyle{ a=\frac{x^{2}+y-y^{2}-x}{\sqrt{x^{2}+y}+\sqrt{y^{2}+x}}}\)
Wobec tego wymierna jest liczba \(\displaystyle{ \sqrt{x^{2}+y}+\sqrt{y^{2}+x}}\) albo \(\displaystyle{ x^{2}+y-y^{2}-x=0}\). Drugi przypadek po uwzględnieniu, że \(\displaystyle{ x,y \in \mathbb{Z}_{+}}\) daje \(\displaystyle{ x=y}\), ale to nie jest możliwe. Zatem wymierna jest liczba \(\displaystyle{ \sqrt{x^{2}+y}+\sqrt{y^{2}+x}}\), a w konsekwencji wymierne są liczby \(\displaystyle{ \sqrt{x^{2}+y}}\) oraz \(\displaystyle{ \sqrt{y^{2}+x}}\).
Teraz można użyć znanego faktu, tysiąc razy dowodzonego na forum, mianowicie:
Wobec tego obie wcześniej wymienione liczby muszą być całkowite. Stąd istnieją \(\displaystyle{ k,l \in \ZZ}\), że \(\displaystyle{ x^{2}+y=k^{2}}\) oraz \(\displaystyle{ y^{2}+x=l^{2}}\).Liczba \(\displaystyle{ \sqrt{n}}\) gdzie \(\displaystyle{ n \in Z_{+} \cup \left\{ 0\right\}}\) jest wymierna wtedy i tylko wtedy gdy jest całkowita.
Załóżmy najpierw, że \(\displaystyle{ x>y}\). Wtedy:
\(\displaystyle{ x^{2}<x^{2}+y<x^{2}+x<x^{2}+2x+1=\left( x+1\right)^{2}}\), zatem liczba \(\displaystyle{ x^{2}+y}\) nie może być kwadratem liczby całkowitej.
Podobnie gdy \(\displaystyle{ x<y}\) to mamy:
\(\displaystyle{ y^{2}<y^{2}+x<y^{2}+y<y^{2}+2y+1=\left( y+1\right)^{2}}\), zatem liczba
\(\displaystyle{ y^{2}+x}\) nie może być kwadratem liczby całkowitej.
W obu przypadkach otrzymaliśmy sprzeczność, która dowodzi, że liczba \(\displaystyle{ a}\) jest niewymierna. \(\displaystyle{ \square}\)