LXV (65) OM - II etap.

[pawel98]

Btw widział ktoś wzrocówkę do 1? Tam jest dość dziwny sposób rozwiązania tego zadania, w którym rozpatruję się równanie kwadratowe względem x, a potem używa twierdzenie o pierwiastkach wymiernych wielomianu. Robił ktoś z Was to zadanie w ten sposób?

Tak, widziałem wzorcówkę i jest beznadziejna bo tak naprawdę, to myślę, że dla osoby która nie rozwiązała tego zadania i nie ma pomysłu jak je zrobić, rozwiązanie to nie będzie takie pouczające, a w podobnych problemach stosowanie tej metody nie będzie takie skuteczne. Moim zdaniem dość intuicyjnym jest wręcz automatycznie sprowadzenie liczb \(\displaystyle{ x}\), \(\displaystyle{ y}\) do względnie pierwszych i później elementarna analiza podzielności. Takie postępowanie byłoby bardziej logiczne dla osoby, która nie miała pojęcia jak zabrać się za to zadanie (jeśli wgl takowa była). Podobnie z zadaniem 2. - ja sam myślałem, że mam pałkarskie rozwiązanie (w sumie takie, że wpadłem po 5 minutach, ale nie chciałem kontynuować twierdząc, że wyjdzie z tego jeden wielki syf, a w rzeczywistości pyka, co zauważyłem pół godziny przed zakończeniem xd), jednakże w obliczu tego zaproponowanego przez komitet jest całkiem ładne, choć znam jeszcze piękniejsze na odpowiednie przystawanie trójkątów (na które niestety nie wpadłem w trakcie zawodów).

[Ponewor]

Drugie pyka natychmiastowo z tożsamości:
\(\displaystyle{ \ctg 2 \alpha + \sqrt{1+\ctg^{2} 2 \alpha}=\ctg \alpha}\)
dla odpowiednich \(\displaystyle{ \alpha}\)

[Msciwoj]

Ktoś mi wysłał te zadania i robiłem je w domu na chillu, zeszło mi 2.5 godziny, kiedy jednocześnie czytałem fejsa i artykuły o Ukrainie. Drugie pyka jakoś bardzo szybko z pól i Talesa, w pierwszym na wykładnikach, ale bez przesady, w trzecim sprowadziłem to do postaci zwartej sumując dwukrotnie ciąg geometryczny, potem policzyłem sobie pochodną, dzięki czemu miałem hipotezę, że W(-1) to minimum, co jakoś szybko poszło bez fajerwerków z tej postaci zwartej.

[porfirion]

Dzisiejszy dzień spoko. 4 potwornie dziwiło swoją banalnością, 5 było ładnym zadankiem na krótką rozkminkę, 6 było zdecydowanie najtrudniejsze i chyba zasłużyło na miano: "dość trudne". I bardzo dobrze, bo gdyby takie randomy jak ja mogły po 2 dniu powiedzieć:"ha! ale jestem dobry! mam komplet!" to to by się mijało z celem. Fajnie, ogólnie pozytywne wrażenia

[przemos01]

Niestety porfirion, ale istnieje jednolinijkowe rozwiązanie 6-tego, które czyni je w zasadzie darmowym.
Wychodząc z sali miałem nadzieje, że było harde (nie starczyło mi czasu żeby je ruszyć - 30 minut na 1+30 na ostatnie+4h na geo) i że przejdę na 4 zadaniach. Jednak okazuje się że zadania nr 1,3,4,6 były darmowe, zaś 2 było stosunkowo robialne (ja nie zrobiłem, udowodniłem tylko że odległość pkt D od obu środków okręgów jest taka sama) więc próg >24 pkt, zatem o finale mogę pomarzyć...

[Ponewor]

Długość rozwiązania ma się nijak do trudności zadania.

[Pinionrzek]

więc próg >24 pkt

Nie sądzę. Myślę, że będzie około 20-22 punktów, co nie zmienia faktu, że skopałem i na pewno nie przejdę.

[Mruczek]

Pewnie tak jak zwykle nie przekroczy 19.

[Vax]

Dzisiaj nie zrobiłem 6. przez co jestem trochę wkurzony bo istnieje piękne, krótkie rozwiązanie :/ 4. i 5. imho bardzo proste, szczególnie kombi. Liczę na 666660. Co do progu to bez przesady, będzie 19-20

[Marcinek665]

Niestety porfirion, ale istnieje jednolinijkowe rozwiązanie 6-tego, które czyni je w zasadzie darmowym.

Zupełnie się nie zgadzam z tym stwierdzeniem. Zadanie było w moim odczuciu najtrudniejsze, bo wymagało właśnie wpadnięcia na pomysł, że

Ukryta treść:    

Każda liczba niedobra jest postaci \(\displaystyle{ a^2b^3}\).

pomysł ten był daleki od oczywistego. A fakt, że załatwia zadanie od razu sprawia, że zadanie jest ciekawe i trudne (bo wymagające ciekawego i nietrywialnego pomysłu), bynajmniej nie darmowe.

[przemos01]

Hmmm no mam nadzieję, że jest tak jak mówicie, że próg nie będzie taki wysoki, na 22 mam ogromną szansę, generalnie obstawiam 23, ale więcej niż 26 nie mogę wyciągnąć.

Co do tego pomysłu - nie wiem ile osób to zadanie w ten sposób zrobiło(mam nadzieje że mało), ale to jest taka sama idea jak w 64_1_12 - czyli dosyć niedawno, co wskazuje, że jednak dużo osób mogło spróbować takiego tricku jak tam - i gdy już spróbowały, to raczej na to wpadły. Ja od razu założyłem, że 6 jest harde i nie zamierzałem go robić, zanim nie zrobię wcześniejszych, a 5 skończyłem pisać 10 minut przed końcem, więc nawet mi się nie opłacało 6-tego zaczynać.

No zobaczymy, ale z tego co się orientuje to w Łódzkim jest w cholerę osób, które zrobiły nie mniej niż 5 zadań, sam osobiście znam 3 takie osoby, a na prawdę niewiele jest takich osób, które zrobiły mniej niż 4. Nie wiem jak jest w pozostałych okręgach, ale na podstawie Łodzi, to 5 zadań powinno mieć co najmniej 80 osób w Polsce. Zatem wątpię by 4 wystarczyły - zapewne setkę dopełnią ludźmi, którzy zrobili 4 zadania i coś.

[adamm]

Bardzo ładne zadania.

[porfirion]

Sądzę, że będę miał : 66(2/5)660. Trzecie wymyśliłem tylko brzyyydko zapisałem... Wieczna głupota i sromota . Ale próg nie ma szans nawet dojść do 24, takie rzeczy się nie zdarzają.

[Htorb]

Wiadomo ile osób deklaruje 5 zadań w Warszawie?

[nobuddy]

Liczę na same szóstki, ale zadania może poza 6 raczej tak sobie mi się podobały, za dużo rzeczy które dało się spałować, żadnych kreatywnych kolorowanek ani fikuśnych stereo...

6:    

Każda liczba niedobra jest postaci \(\displaystyle{ a^2b^3}\).

Jak potem można było tak szybko je zliczyć?

Ja zrobiłem podobnie do wzorcówki, wyciągnąłem z liczby niedobrej "bazę" w postaci kwadratu.

Czy tylko ja w dzisiejszym geo uznałem za konieczne dowieść że punkty A, B, Q leżą w tej kolejności na prostej? Wydaje mi się że to wypada wykazać, a ani żaden z omawiających, ani układający wzorcówki nie uznali tego za potrzebne...


Mógłby ktoś ogarnięty się wypowiedzieć na temat tego rozwiązania? Zapisanego tak jak poniżej, bo jest nieścisłe, a zależy mi wiedzieć ile warte:

1:    

Jeśli jeden ze składników tej sumy z treści zadania będzie całkowity, to drugi też - wtedy jeśli załóżmy \(\displaystyle{ y}\) nie dzieli \(\displaystyle{ x^2}\), to też będzie \(\displaystyle{ x}\) nie dzielił \(\displaystyle{ y^2}\). Wynika z tego w szczególności że \(\displaystyle{ x}\) nie dzieli \(\displaystyle{ y}\) i vice versa.

Zakładamy teraz że istnieje dzielnik pierwszy który dzieli \(\displaystyle{ x}\) ale nie dzieli \(\displaystyle{ y}\). Jako że \(\displaystyle{ xy | x^3+y^3}\), to \(\displaystyle{ x | y^3}\) i mamy sprzeczność. Wniosek: nie istnieje dzielnik pierwszy który dzieli tylko jedną z liczb x, y.

Niech \(\displaystyle{ x=p^m q^n}\), \(\displaystyle{ y=p^a q^b}\) (dla uproszczenia zapisu przyjmujemy że x i y mają tylko po dwa dzielniki pierwsze, nie ma to wpływu na dalsze rozumowanie. jeśliby miałby tylko jeden dzielnik łatwo dochodzimy do sprzeczności z tym że jedna z tych liczb nie dzieli drugiej).

Bez straty ogólności \(\displaystyle{ m>a}\) i \(\displaystyle{ n<b}\) - gdyby było np. \(\displaystyle{ m>a}\) i \(\displaystyle{ n>b}\) lub gdzieś tam równość, dochodzimy znów do sprzeczności z tym że x nie dzieli y i vice versa.

Jednakże \(\displaystyle{ x | y^3}\) i \(\displaystyle{ y | x^3}\) oraz \(\displaystyle{ x}\) nie dzieli \(\displaystyle{ y^2}\) i \(\displaystyle{ y}\) nie dzieli \(\displaystyle{ x^2}\). Otrzymujemy stąd:
\(\displaystyle{ 3a \geq m}\)
\(\displaystyle{ 3b \geq n}\)
\(\displaystyle{ 2a < m}\)
\(\displaystyle{ 2n < b}\)

Wstawiając do \(\displaystyle{ xy | x^3 + y^3}\) jest
\(\displaystyle{ p^{m+a} q^{n+b} | p^{3m} q^{3n} + p^{3a} q^{3b}}\)
\(\displaystyle{ p^{m+a} q^{n+b} | p^{3a} q^{3n} (p^{3m-3a} + q^{3b-3n})}\)
i prawa strona podzielna jest przez \(\displaystyle{ p^{m+a}}\) ale \(\displaystyle{ m+a > 3a}\) na bazie tego co napisane wcześniej, stąd p musi dzielić drugi nawias prawej strony powyższej podzielności, skąd otrzymujemy \(\displaystyle{ p | q}\) -> sprzeczność.

Mówienie że próg będzie ponad 4 zadania to przeszacowywanie chyba widoczne co roku, zarówno na OM jak i np. na OI, najbardziej przez zawodników z mocnych okręgów. Porównajcie z innymi latami, i przystopujcie, stawiam 19-21.