Witam
Mam problem z pewnym zadaniem. Jego treść:
Dane jest następujące zagadnienie optymalizacyjne:
\(\displaystyle{ \min f(x) = \alpha x_{1} + x_{2}}\)
przy ograniczeniach:
\(\displaystyle{ 3x_{1} + 4x_{2} - 12 \le 0 \\
2x_{1} + 3x_{2} - 6 \ge 0 \\
1 \le x_{2} \le 2}\)
Wyznacz rozwiązanie optymalne w zależności od parametru \(\displaystyle{ \alpha}\)
Wiem, że podstawą jest rysunek, jednak chciałabym poznać kolejne etapy przy rozwiązywaniu tego typu zadania, a zwłaszcza problem z parametrem \(\displaystyle{ \alpha}\).
Z góry dziękuję za pomoc
Badania operacyjne, programowanie liniowe
Badania operacyjne, programowanie liniowe
Ostatnio zmieniony 21 lut 2014, o 12:47 przez bakala12, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Nieczytelny zapis - brak LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .
Powód: Nieczytelny zapis - brak LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .
- Frey
- Użytkownik
- Posty: 3299
- Rejestracja: 11 paź 2008, o 18:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Skierniewice
- Podziękował: 48 razy
- Pomógł: 243 razy
Badania operacyjne, programowanie liniowe
Okej, tak na intuicje, to wszystko zależy od tego x1. Mamy chociaż podane, że to x1 jest dodatnie? Parametr a może być dowolny? Bo mając dowolną zmienną i jeszcze obciążoną dowolnym parametrem to nie wiem co tutaj z optymalizacją będziemy mieli wspólnego
Jeśli x1 jest dodatnie, to możemy oszacować w jakim przedziale się mieści. Na podstawie ograniczeń.
Ja kojarzę, że takie zadania można narysować. Przyjmij oś X jako x1, oraz oś Y jako x2 i postaraj się narysować ograniczenia podstawiając min i max wartości x2. Biorąc jeszcze od uwagę, że oś y ograniczona będzie przez 1 i 2 to wyjście jakaś płaszczyzna, którą pewnie będzie miała jakiś minimum. Spróbuj pójść w tym kierunku. Potem rysuje się taki "wektor" a nachylenie tego wektora będzie zależeć od parametru "a" właśnie, zatem będzie można też coś o tym parametrze powiedzieć
Jeśli x1 jest dodatnie, to możemy oszacować w jakim przedziale się mieści. Na podstawie ograniczeń.
Ja kojarzę, że takie zadania można narysować. Przyjmij oś X jako x1, oraz oś Y jako x2 i postaraj się narysować ograniczenia podstawiając min i max wartości x2. Biorąc jeszcze od uwagę, że oś y ograniczona będzie przez 1 i 2 to wyjście jakaś płaszczyzna, którą pewnie będzie miała jakiś minimum. Spróbuj pójść w tym kierunku. Potem rysuje się taki "wektor" a nachylenie tego wektora będzie zależeć od parametru "a" właśnie, zatem będzie można też coś o tym parametrze powiedzieć
Badania operacyjne, programowanie liniowe
Frey, w zadaniu było tylko to co napisałam, nic poza tym, dlatego parametr pozostaje dowolny i wszystko od niego zależy.
Rysunek mam zrobiony, wyszła ograniczona płaszczyzna w kształcie równoległoboku. Wiem, że minimum trzeba szukać w wierzchołkach tej płaszczyzny, ale słyszałam, że czasem może wyjść też cały odcinek, który zapewnia optimum.
Ktoś mi kiedyś tłumaczył, że wektor o którym mówiłeś trzeba tak jakby "obracać" by stykał się z wierzchołkami. Nie wiem tylko jak to ładnie opisać, czy najlepiej zacząć od przyjęcia parametru jako np. 1?
Rysunek mam zrobiony, wyszła ograniczona płaszczyzna w kształcie równoległoboku. Wiem, że minimum trzeba szukać w wierzchołkach tej płaszczyzny, ale słyszałam, że czasem może wyjść też cały odcinek, który zapewnia optimum.
Ktoś mi kiedyś tłumaczył, że wektor o którym mówiłeś trzeba tak jakby "obracać" by stykał się z wierzchołkami. Nie wiem tylko jak to ładnie opisać, czy najlepiej zacząć od przyjęcia parametru jako np. 1?
- Frey
- Użytkownik
- Posty: 3299
- Rejestracja: 11 paź 2008, o 18:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Skierniewice
- Podziękował: 48 razy
- Pomógł: 243 razy
Badania operacyjne, programowanie liniowe
Wyszedł równoległobok, to dobrze.
Kurcze bez rysunku ciężko mówić, ale tak najlepiej zacząć od parametru 1, wtedy wektor będzie miał nachylenie 45 stopni. Generalnie prowadzi się styczne do wektora i ta styczna, która jest najniżej i styka się z równoległobokiem, tam będzie minimum. (Jeśli to nie jasne to zrobię jakiś rysunek pomocniczy).
Może zdarzyć się tak, że przy jakieś wartości parametru a, rozwiązaniem nie będzie punkt lecz jeden z boków tego równoległoboku. Wszystko zależy jaki ma ten równoległobok kształt
Problem pojawia się dla parametru ujemnego.
Do rysowania równoległoboku przyjęłaś, że x1, jest dodatnie tak?
Kurcze bez rysunku ciężko mówić, ale tak najlepiej zacząć od parametru 1, wtedy wektor będzie miał nachylenie 45 stopni. Generalnie prowadzi się styczne do wektora i ta styczna, która jest najniżej i styka się z równoległobokiem, tam będzie minimum. (Jeśli to nie jasne to zrobię jakiś rysunek pomocniczy).
Może zdarzyć się tak, że przy jakieś wartości parametru a, rozwiązaniem nie będzie punkt lecz jeden z boków tego równoległoboku. Wszystko zależy jaki ma ten równoległobok kształt
Problem pojawia się dla parametru ujemnego.
Do rysowania równoległoboku przyjęłaś, że x1, jest dodatnie tak?
Badania operacyjne, programowanie liniowe
Ok, już rozumiem jak postępować. A jaki problem jest z parametrem ujemnym? (bo taki również może być w takim zadaniu)
Do rysowania nie musiałam przyjmować dodatniego x1, figura wyszła po narysowaniu samych ograniczeń
Do rysowania nie musiałam przyjmować dodatniego x1, figura wyszła po narysowaniu samych ograniczeń
- Frey
- Użytkownik
- Posty: 3299
- Rejestracja: 11 paź 2008, o 18:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Skierniewice
- Podziękował: 48 razy
- Pomógł: 243 razy
Badania operacyjne, programowanie liniowe
\(\displaystyle{ 3x_{1} + 4x_{2} - 12 \le 0}\)
Jeśli x1 jest ujemne wtedy, to nierówności się odwracają, w tym miejscu pojawia się problem. Nie wiem czy mam racje, ktoś powinien to potwierdzić, ale np. jak podstawimy za x2 jako 1 to mamy
\(\displaystyle{ 3x_{1} + 4 - 12 \le 0 \\ 3x_{1} \le 8 \\}\)
I teraz jeśli x1 jest dodatnie to
\(\displaystyle{ x_{1} \le \frac{8}{3}}\)
Jeśli x1 jest ujemne to wtedy
\(\displaystyle{ x_{1} \ge \frac{-8}{3}}\)
Przynajmniej tak sądzę.
Z parametrem a też jej problem, bo kiedy jest dodatnie to wektor skierowany jest w kierunku ćwiartki I (jeśli patrzymy na wykres jak na układ współrzędnych). Jeśli a jest dowolne, czyli np ujemne, wtedy wektor odchyla się do ćwiartki II, przez co może być problem z optymalizacją. Nadal da się poprowadzić do niego styczną, ale wtedy jest to co najmniej dziwne
Jeśli x1 jest ujemne wtedy, to nierówności się odwracają, w tym miejscu pojawia się problem. Nie wiem czy mam racje, ktoś powinien to potwierdzić, ale np. jak podstawimy za x2 jako 1 to mamy
\(\displaystyle{ 3x_{1} + 4 - 12 \le 0 \\ 3x_{1} \le 8 \\}\)
I teraz jeśli x1 jest dodatnie to
\(\displaystyle{ x_{1} \le \frac{8}{3}}\)
Jeśli x1 jest ujemne to wtedy
\(\displaystyle{ x_{1} \ge \frac{-8}{3}}\)
Przynajmniej tak sądzę.
Z parametrem a też jej problem, bo kiedy jest dodatnie to wektor skierowany jest w kierunku ćwiartki I (jeśli patrzymy na wykres jak na układ współrzędnych). Jeśli a jest dowolne, czyli np ujemne, wtedy wektor odchyla się do ćwiartki II, przez co może być problem z optymalizacją. Nadal da się poprowadzić do niego styczną, ale wtedy jest to co najmniej dziwne