twierdzenie Cevy i Menelausa

[kamil_nau]

Witam wszystkich. Mam problem z dwoma zadaniami z listy zadań dotyczącej zastosowania twierdzenia Cevy i Menelausa.

101. Dany jest trójkąt ABC. Punkty L, Z leżą na boku BC, punkty M, X leżą na boku CA, punkty K, Y leżą na boku AB, przy czym AB || MZ, BC || KX, CA || LY (rys. 101). Dowieść, że proste KX, LY i MZ przecinają się w jednym punkcie wtedy i tylko wtedy, gdy

\(\displaystyle{ \frac{AY}{YK}\cdot}\)\(\displaystyle{ \frac{BZ}{ZL}\cdot}\)\(\displaystyle{ \frac{CX}{XM}= 1.}\)

102. Dany jest trójkąt nierównoramienny ABC. Dwusieczne kątów CAB, ABC i BCA przecinają boki BC, CA i AB odpowiednio w punktach D, E, F. Symetralne odcinków AD, BE, CF przecinają proste BC, CA, AB odpowiednio w punktach X, Y, Z. Z. Dowieść, że punkty X, Y , Z leżą na jednej prostej.

Dorzucam plik oryginalny pdf, są w nim ilustracje do zadań)
Chodzi o zadania 101 i 102 ze strony 21:

Kod: Zaznacz cały

http://matma.ilo.pl/images/pompe.pdf

[piotr5]

101:
Niech X' to przecięcie KX i LM, Y' to przecięcie LY i KM oraz Z' to przecięcie MZ i KL. Teraz wystarczy popatrzeć na trójkąt KLM, rozpisać dla niego twierdzenie Cevy i następnie trzy razy skorzystać z twierdzenia Talesa.

-- 21 lut 2014, o 22:31 --

102:
Załóżmy sobie, że symetralna BF przecina prostą AB po stronie punktu A (tzn. \(\displaystyle{ AZ < BZ}\)).
Poprowadźmy prostą prostopadłą do CF w punkcie C, która przetnie prostą AB w punkcie Z'.
Zauważamy, że \(\displaystyle{ \frac{AZ'}{BZ'} = \frac{AF}{BF}}\) (możemy to zrobić np. z dwustosunku albo z twierdzenia o dwusiecznej połączonej z twierdzeniem o dwusiecznej zewnętrznej).
Teraz korzystamy z tego związku i tego, że \(\displaystyle{ AZ' = FZ' - AF}\) i \(\displaystyle{ BZ' = FZ' - BF}\) i możemy wyliczyć \(\displaystyle{ FZ' = \frac{2AF\cdot BF}{BF - AF}}\).
Z twierdzenia Talesa \(\displaystyle{ FZ = \frac{FZ'}{2} = \frac{AF\cdot BF}{BF - AF}}\), zatem
\(\displaystyle{ AZ = FZ - AF = \frac{AF^2}{BF-AF}}\) i \(\displaystyle{ BZ = FZ + BF = \frac{BF^2}{BF-AF}}\), czyli \(\displaystyle{ \frac{AZ}{BZ} = \frac{AF^2}{BF^2}}\).
Teraz wyprowadzamy analogiczne związki dla X i Y, mnożymy wszystko i korzystamy z tego, że AD, BE i CF przecinają się w jednym punkcie
Pozdrawiam.

-- 21 lut 2014, o 22:33 --

PS: Dziękuję za dwa fajne zadanka przed drugim dniem II etapu OMa

[kamil_nau]

To ja dziękuję bardzo za rozwiązania. Prześledziłem je- wg. mnie są jak najbardziej ok. Jeszcze raz dzięki. Pierwsze zadanie- aż się dziwię że nie zrobiłem, ale wiem gdzie był mój błąd- może to zmęczenie, bo od paru dni nic innego tylko geometria ( która nie jest moją najmocniejszą stroną). Ale za to drugie zadanie- szacun, ja bym na to nie wpadł. Wprowadziłem tyle dodatkowych punktów w swoim rozwiązaniu- potrzebowałem tylu prostych Cevy, a każde z nich były coraz to trudniejsze w kwestii pokazania współpękowości.
Pozdrawiam serdecznie i życzę powodzenia na konkursie