Wzór Taylora z pochodnymi czastkowymi i pochodnymi Frecheta

[bogo91]

Witam.

Z puli zagadnień do egzaminu z analizy matematycznej trafilem na takie 2:
Wzór Taylora z pochodnymi cząstkowymi i chciałbym o potwierdzenie czy o dobrym myśle a mianowicie:
wielomian Taylora funkcji \(\displaystyle{ \displaystyle f: \mathbb{R}^n\mapsto \mathbb{R}}\) rzedu m o środku w punkcie a to

\(\displaystyle{ T _{ \alpha }^{m } f(h)= \sum_{| \alpha | \le m} \frac{1}{ \alpha !} \frac{ \partial ^{| \alpha |} }{ \partial x ^{ \alpha } }f(a)h ^{ \alpha }}\)

Natomiast jeśli chodzi o wzór z pochodnymi Frecheta to nie mam pojęcia. Czy ktoś jest w stanie mi go pokazać albo powiedzieć gdzie go znajdę?

[szw1710]

Dla funkcji dwóch zmiennych mielibyśmy wielomian Taylora rzędu \(\displaystyle{ 2}\) w punkcie \(\displaystyle{ (x_0,y_0)}\) w postaci

\(\displaystyle{ \begin{aligned}
f(x_0,y_0)&+\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)(x-x_0)+\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)(y-y_0)+\\&+\frac{1}{2}\left[\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(x_0,y_0)(x-x_0)^2+\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(x_0,y_0)(y-y_0)+2\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}(x_0,y_0)(x-x_0)(y-y_0)\right]\,.\end{aligned}}\)

Zapisanie wielomianu Taylora wyższego rzędu może przyprawić o ból głowy.

W tym co piszesz, \(\displaystyle{ \alpha}\) jest wielowskaźnikiem. Jak to odnieść do tego co ja napisałem? Zwyczajnie: mamy wielowskaźniki \(\displaystyle{ (0,0),(0,1),(1,0),(1,1),(2,0),(0,2)}\). Teraz \(\displaystyle{ h=(h_1,h_2)}\) oraz \(\displaystyle{ h^{\alpha}=h_1^{\alpha_1}h_2^{\alpha_2}}\). Jeszcze silnia wielowskaźnika. Zobacz an WIkipedii: ... 5%BAnikowa

[bogo91]

Rozumiem już dzięki. A jaka jest postać tego z pochodnymi Frecheta?

edit bo tak czytam i doszedlem do wniosków pewnych tylko nie wiem czy mam racje:

z pochodnymi czastkowymi:

\(\displaystyle{ f(a+h) = \sum_{j=1}^{k} \frac{1}{j!} f ^{(j)} (a).h}\)
przy czym \(\displaystyle{ f `(a).h}\) rozumiemy jako
\(\displaystyle{ \triangledown f (a).h = \frac{ \partial f}{ \partial x}(a)h _{1}+\frac{ \partial f}{ \partial y}(a)h _{2}}\)

naomiast z Frecheta:
\(\displaystyle{ f(x) = \sum_{| \alpha | \le k} \frac{1}{ \alpha !} D ^{ \alpha } f(a)(x-a) ^{ \alpha }}\)
tu przy zachowaniu oczywiscie oznaczeń tych o ktorych wyżej oraz
\(\displaystyle{ |\alpha | = \alpha _{1} +...+\alpha _{N}}\)
\(\displaystyle{ \alpha ! = \alpha _{1}! ...\alpha _{N}!}\)
\(\displaystyle{ D^{ \alpha }f= \frac{ \partial ^{|\alpha|}f }{ \partial x _{1}^{ \alpha _{1} }...\partial x _{N}^{ \alpha _{N} } }}\)