ekstremum lokalne

[Gogeta]

Zbadac punkty krytyczne oraz wyznaczyc ekstrema funkcji
\(\displaystyle{ f(x,y) = (x-1)^2(2x-y^2-1)}\)

policzyłem pochodne
\(\displaystyle{ \frac{\partial f}{\partial x}= 2(x-1)(2x-y^2-1)+2(x-1)^2}\)
\(\displaystyle{ \frac{\partial f}{\partial y}= 2y(x-1)^2}\)

przyrownalem je do zera i otrzymalem punkty krytyczne:
z drugiego rownania gdy \(\displaystyle{ x= 1}\) mamy
\(\displaystyle{ \left\{ (x,y) \in \RR^2 : x=1, y \in \RR\right\}}\)

gdy \(\displaystyle{ y=0}\) podstawiając pod pierwsze równanie mam

\(\displaystyle{ \begin{cases} x=1 \\ y=0 \end{cases}}\) oraz \(\displaystyle{ \begin{cases}x= \frac{2}{3} \\ y=0 \end{cases}}\)

policzyłem drugie pochodne no i wyszlo mi maksimum lokalne w pkt \(\displaystyle{ \begin{cases}x= \frac{2}{3} \\ y=0 \end{cases}}\) w pkt \(\displaystyle{ \begin{cases} x=1 \\ y=0 \end{cases}}\) wyznacznik hesjanu wyszedl rowny \(\displaystyle{ 0}\)

dalej policzyłem:
\(\displaystyle{ f(1+ \frac{1}{n} ,0)= \frac{2+n}{n^3} >0 =f(1,0)}\)
\(\displaystyle{ f(1 - \frac{1}{n} ,0)= - \frac{2+n}{n^3} < 0 =f(1,0)}\)

czyli brak ektremum w pkt \(\displaystyle{ \begin{cases} x=1 \\ y=0 \end{cases}}\)

podobnie bedzie w pozostałych punktach nalezacych do zbioru \(\displaystyle{ \left\{ (x,y) \in \RR^2 : x=1, y \in \RR\right\}}\) tylko w jaki sposob to uargumentowac?

[leszczu450]

Gogeta, a nie liczysz warunku dostatecznego z formy kwadratowej? Ja tak byłem uczony i przyznam szczerze, że jeśli przykład nie jest jakiś podchwytliwy to ładnie to wychodzi. Tworzysz sobie macierz Hessa i wstawiasz po kolei punkty krytyczne do niej. I następnie badasz określoność tej formy. Jeśli wszystki minory są dodatnie to mamy minimum w danym punkcie, jeśli minory są na zmiane znakami to mamy ujemną określoność i występuję maksimum w danym punkcie. Jeżeli nie jest ani tak ani tak to liczysz formę kwadratową z definicji. Kojarzysz to?

[Gogeta]

Dokladnie w ten sposob to policzylem nie pisalem pochodnych 2 rzedu oraz hesjanu bo nie w tym tkwi moj problem
Jak widzisz wstawienie wszystkich punktow krytycznych moze byc troche klopotliwe bo jest ich nieskonczenie wiele
Chodzi mi o argumentacje tego, ze w pkt ze zbioru \(\displaystyle{ \left\{ (x,y) \in \RR^2 : x=1, y \in \RR\right\}}\) nie ma ekstremum lokalnego.

a zasadniczo no wpadlem juz jak to uargumentowac (wystarczylo troche pomyslec )

[leszczu450]

Gogeta, mogę się mylić, ale ja zrobiłbym to tak, że obliczyłbym odpowiednia formę kwadratować: \(\displaystyle{ \left\langle Ah, h\right\rangle =h^T Ah}\), gdzie \(\displaystyle{ h}\) jest dowlonym niezerowym wektorem, a \(\displaystyle{ A}\) jest macierzą Hessa. Pokazałbym, że dla \(\displaystyle{ x=1}\) i niezależnie od igreka istnieją takie \(\displaystyle{ h_1 , h_2}\), że forma raz jest dodatnio określona, a drugi raz ujemnie określona. A to na mocy odpowiedniego faktu mówiłoby już o tym, że w tych wszystkich punktach nie ma ekstremum.