dwie granice

[Gogeta]

a) odpowiedzieć na pytanie czy istnieje takie \(\displaystyle{ a \in \RR}\) aby funkcja

\(\displaystyle{ f(x,y,z)= \begin{cases} \frac{x^4y}{x^2 + y^2 + z^2}, (x,y,z) \neq (0,0,0) \\ a , (x,y,z) = (0,0,0) \end{cases}}\)
byłą ciągła?

b) odpowiedzieć na pytanie czy istnieje granic
\(\displaystyle{ \lim_{ (x,y)\to(0,1)} \frac{x^2(y-1)^2}{x^4+(y-1)^4}}\)

Ad. \(\displaystyle{ a)}\)
\(\displaystyle{ 0 \le \left| \frac{x^4y}{x^2 + y^2 + z^2}\right|= \frac{x^4|y|}{x^2 + y^2 + z^2} \le \frac{x^4|y|}{x^2 + y^2 }}\)

\(\displaystyle{ \lim_{(x,y) \to (0,0) } \frac{x^4|y|}{x^2 + y^2 } = \lim_{r \to 0}\frac{r^4\cos ^4\phi|r\sin \phi|}{r^2\cos ^2\psi + r^2\sin ^2\phi }=\lim_{r \to 0 } \frac{r^5\cos ^4\phi|\sin \phi|}{r^2 }= \lim_{r \to 0 } r^3\cos ^4\phi|\sin \phi|=0}\)

czyli isnieje takie \(\displaystyle{ a \in \RR}\) i wynosi ono \(\displaystyle{ 0}\)

b) Na to nie mam w sumie pomysłu

czy podpunkt a jest dobrze?
prosiłbym o pomoc w podpunkcie b

[Chromosom]

a) Wynik jest poprawny, jednakże można od razu zapisać następująco:

\(\displaystyle{ 0\le\left|\frac{x^4y}{x^2+y^2+z^2}\right|\le\left|\frac{x^4y}{x^2}\right|}\)

b) Zastosuj podstawienie \(\displaystyle{ y-1=t}\), wtedy do rozważenia pozostaje granica

\(\displaystyle{ \lim_{(x,t)\to(0,0)}\frac{x^2t^2}{x^4+y^4}}\)

Wybierz ciągi \(\displaystyle{ (x_n,y_n)=\left(\frac1n,\frac an\right)}\) i sprawdź, czy wartość granicy jest taka sama dla każdego \(\displaystyle{ a}\). Uwaga: jeśli tak jest, granica może istnieć, ale nie musi; jeśli natomiast tak nie jest, granica nie istnieje.

[Gogeta]

podążając tymi ciągami granica wynosi \(\displaystyle{ \frac{a^2}{1+a^2}}\) czyli granica nie istnieje

Dzięki za pomoc