Obliczyć całkę.

mooniika · Post autor: **mooniika** » 19 lut 2014, o 19:02

Dzień dobry. Jak najszybciej obliczyć całkę \(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{x\arccos x}{ \sqrt{1 - x^{2} } }dx}\)?

Post autor: **yorgin** » 19 lut 2014, o 19:03

Przez części różniczkując funkcję cyklometryczną.

Jelon · Post autor: **Jelon** » 23 lut 2014, o 10:30

podstawienie \(\displaystyle{ t = \arccos x}\) jest chyba lepszym szybsze nawet

Mariusz M · Post autor: **Mariusz M** » 23 lut 2014, o 13:03

Jelon, to podstawienie nic nie da
Najlepiej przez części tak jak proponuje yorgin,

Jelon · Post autor: **Jelon** » 23 lut 2014, o 18:08

mariuszm pisze:Jelon, to podstawienie nic nie da
Najlepiej przez części tak jak proponuje yorgin,

jak nie jak tak ? \(\displaystyle{ t = \arccos x}\) co daje \(\displaystyle{ dt = \frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}dx}\) i z pierwszej równości mamy \(\displaystyle{ x = \cos t}\)

Mariusz M · Post autor: **Mariusz M** » 24 lut 2014, o 06:07

ale i tak przez części musisz liczyć
Podstawienie jest niepotrzebne, licząc przez części wszystko się ładnie skraca
\(\displaystyle{ =- \sqrt{1-x^2}\arccos{x}+\int{ \frac{ \sqrt{1-x^2} }{\sqrt{1-x^2}} \mbox{d}x }\\
=- \sqrt{1-x^2}\arccos{x}+\int{\mbox{d}x }\\
=- \sqrt{1-x^2}\arccos{x}+x+C}\)

bartek118 pisze:
mariuszm pisze: \(\displaystyle{ -\sqrt{1-x^2}\arccos{x}+\int{ \frac{ \sqrt{1-x^2} }{1-x^2} \mbox{d}x }\\
=- \sqrt{1-x^2}\arccos{x}+\int{\mbox{d}x }}\)
Nie, żebym się czepiał, ale jak tyś to skrócił?

Czepiasz się po prostu zapomniałem pierwiastka w mianowniku
Już poprawiłem
Nie zmienia to tego że podstawienie jest zbędne , no chyba że
do policzenia całki \(\displaystyle{ \int{\frac{x}{ \sqrt{1-x^2} } \mbox{d}x }}\)
ale tę całkę można w pamięci policzyć

Post autor: **bartek118** » 24 lut 2014, o 06:55

mariuszm pisze: \(\displaystyle{ -\sqrt{1-x^2}\arccos{x}+\int{ \frac{ \sqrt{1-x^2} }{1-x^2} \mbox{d}x }\\
=- \sqrt{1-x^2}\arccos{x}+\int{\mbox{d}x }}\)

Nie, żebym się czepiał, ale jak tyś to skrócił?